determine uma PA de três termos na qual a soma e o produto dos termos são,respectivamente,6 e (-42)
Soluções para a tarefa
A progressão aritmética pode ser (-3, 2, 7) ou (7, 2, -3).
Vamos supor que os três números da progressão aritmética são a₁, a₂ e a₃.
O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r.
Dito isso, temos que os termos da progressão aritmética são iguais a a₁, a₁ + r, a₁ + 2r.
De acordo com o enunciado, a soma dos três termos é igual a 6. Então:
a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 6
3a₁ + 3r = 6
a₁ + r = 2.
Além disso, temos que o produto dos três termos é igual a -42. Ou seja:
a₁.(a₁ + r).(a₁ + 2r) = -42
a₁.2.(a₁ + 2r) = -42
a₁.(a₁ + 2r) = -21.
De a₁ + r = 2, podemos dizer que r = 2 - a₁. Logo:
a₁(a₁ + 2(2 - a₁)) = -21
a₁(a₁ + 4 - 2a₁) = -21
a₁(4 - a₁) = -21
4a₁ - a₁² = -21
a₁² - 4a₁ - 21 = 0.
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para a₁: -3 e 7.
Se a₁ = -3, então r = 2 - (-3) = 5.
Se a₁ = 7, então r = 2 - 7 = -5.
Portanto, a progressão aritmética pode ser (-3, 2, 7) ou (7, 2, -3).