Question

Determine uma função F tal que F’(x)=1/x e F(1)=0

Answer 1

Temos a seguinte função:

$F'(x) = \frac{1}{x} \: \: \to \: \: \frac{dF(x)}{dx} = \frac{1}{x}$

Primeiro vamos separar, ou seja, tudo que é relacionado a x pra um lado e tudo que é f(x) para o outro:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dF(x) = \frac{dx}{x}$

Agora vamos integrar ambos os lados:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int dF(x) = \int \frac{dx}{x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: F(x) = \ln( |x| ) + k$

Como sabemos F(1) = 0, ou seja, F(x) = 0 quando x = 1. Substituindo essa informação:

$0 = \ln (|1| ) + k \: \: \to \: \: k = 0$

Substituindo essa informação:

$F(x) = \ln( |x| ) + 0 \: \: \to \: \: \boxed{F(x) = \ln( |x| )}$

Portanto essa é a função