Matemática, perguntado por Nuro86, 9 meses atrás

Determine uma função f:R→R duduas vezes diferencuavel e satisfazendo a condições : f"(x)=e^x/(1+e^x) ^2

Soluções para a tarefa

Respondido por Peterson42
1

Explicação passo-a-passo:

Como y''=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} é uma equação separável, apenas integre duas vezes:

\displaystyle\int \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\:dx

Seja u=1+e^x \rightarrow du=e^x\:dx

\displaystyle\int \frac{1}{u^2}\:du=-\frac{1}{u}+C_1=-\frac{1}{e^x+1}+C_{1}

\displaystyle\int -\frac{1}{e^x+1}+C_1\:dx

Seja v=e^x \rightarrow dv=e^x\:dx \rightarrow \frac{dv}{e^x}=dx \rightarrow  \frac{dv}{v}=dx

\displaystyle -\int \frac{1}{v(v+1)}\:dv+\int C_1\:dx

Decomponha em frações parciais:

\displaystyle\frac{1}{v(v+1)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v+1}=\frac{A(v+1)+Bv}{v(v+1)}

(A+B)v+A=1

A=1

B=-1

Logo,

\displaystyle -\int \frac{1}{v}\:dv+\int \frac{1}{v+1}\:dv+\int C_1\:dx

-ln |v|+ln|v+1|+C_{1}x+C_2

Substitua de volta:

-ln |e^x|+ln|e^x+1|+C_{1}x+C_2

ln|\frac{e^x+1}{e^x}|+C_{1}x+C_2

ln|1+e^{-x}|+C_{1}x+C_2


Kaio0G: Amigo, na sua substituição por v, você não se equivocou ao reescrever a função?
Kaio0G: Tanto que você caiu em frações parciais... O que não era necessário
Kaio0G: Interessante, mesmo diferentes, ambas as nossas respostas chegam ao resultado correto
Peterson42: Eu detalhei melhor a substituição
Peterson42: Obrigado
Kaio0G: Entendi agora o que você fez, realmente não houve equívoco. Desculpe
finaj9875: Muito obrigado;foi muito útil esta resposta
finaj9875: Muito obrigado;foi muito útil esta resposta
Respondido por Kaio0G
1

Resposta:

Uma das infinitas funções é:

f(x)=ln(1+e^x)

Explicação passo-a-passo:

Lembrando que utilizei a técnica de substituição e duas integrais simples:

x^ndx = \frac{x^(n+1) }{n} + c   (elevado a (n+1)*)

\frac{1}{x} = ln(modulo(x)) + c

Obs: Reforçando que ignorei as constantes por conveniência: apenas uma função foi solicitada

Anexos:
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