Question

Determine uma função diferençável F tal que y=f(x) e, determine y’:
$2x^{2} +x^{2} y+yx^{3} =1$

Answer 1

Dada a expressão:

$2x^2+x^2y+yx^3=1$

É possível determinar uma função F tal que $y=f(x)$. Desse modo:

$2x^2+x^2y+yx^3=1\Longrightarrow x^2y+x^3y=1-2x^2$

$\Longrightarrow (x^2+x^3)y=1-2x^2\ \therefore\ y=\dfrac{1-2x^2}{x^2+x^3}$

Para se calcular a derivada primeira ($y'$), é preciso conhecer a regra do quociente:

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$

Logo:

$y'=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1-2x^2}{x^2+x^3}\right)$

$\Longrightarrow y'=\dfrac{\left(x^2+x^3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(1-2x^2\right)-\left(1-2x^2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+x^3\right)}{\left(x^2+x^3\right)^2}$

$\Longrightarrow y'=\dfrac{\left(x^2+x^3)(-4x)+(2x^2-1)(2x+3x^2)}{\left[x^2(x+1)\right]^2}$

$\Longrightarrow y'=\dfrac{-4x^3-4x^4+4x^3+6x^4-2x-3x^2}{x^4(x+1)^2}$

$\Longrightarrow y'=\dfrac{2x^4-3x^2-2x}{x^4(x+1)^2}=\dfrac{x(2x^3-3x-2)}{x^4(x+1)^2}$

$\Longrightarrow \boxed{y'=\dfrac{2x^3-3x-2}{x^3(x+1)^2}}$