Question

Determine uma fórmula para a soma

2 + 4 + 6 + … + 2.n
e demonstre sua validade pelo método da indução.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Considerando $S_n=2+4+6+\cdots+2n$, podemos reescrevê-lo como $S_n=2*(1+2+3+\cdots+n)$. Sendo $1+2+3+\cdots+n$ a soma dos $n$ primeiros números naturais (não considerando 0 natural), sabe-se que a seguinte igualdade é verdadeira: $1+2+3+\cdots+n=\frac{n*(n+1)}{2}$ (irei considerar que não há necessidade de provar essa fórmula). Temos então que:

$S_n=2*\frac{n*(n+1)}{2}$

$S_n=n*(n+1)$

Para $n=1$ a relação é válida visto que $S_1=1*2=2$. Sendo $S_{n+1}=S_n+2(n+1)$, vamos provar que a relação é válida para $n+1$:

$S_{n+1}=S_n+2(n+1)$

$(n+1)(n+2)=n(n+1)+2(n+1)$

Colocando $n+1$ em evidência no lado direito da igualdade:

$(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)$

Provando assim que a relação é válida para tanto para 1 quanto para $n+1$, logo ela é válida para qualquer $n$.