Question

Determine uma equação que seja satisfeita com as coordenadas de qualquer ponto P (x, y) cuja distância ao ponto A (2, 3) é sempre 3.

Answer 1

Se for analisar o ponto em um plano cartesiano, verá que temos que encontrar apenas valores da abscissa que satisfaçam a distância até o ponto A. Pois a partir da análise, já temos o valor da ordenada e vemos que o ponto é P = (x,3). Teremos que elevar toda a fórmula ao quadrado e eliminar as raízes.

$d_{AB}= \sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}+( y_{2}-y_{1})^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}} \\ \\ d_{AB}^{2} = (\sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}})^{2} \\ \\ d^{2} = ( x_{2}-x_{1})^{2} \\ \\ 3^{2} = (2-x)^2 \\ \\ 9 = x^2-4x+4 \\ \\ 9-4=x^2-4x \\ \\ 5=x^2-4x \\ \\ 0=-5+x^2-4x \\ \\ x^2 -4x -5=0$

Resolvendo o Bhaskara temos x = -1 ou 5. Tanto o ponto P = (-1,3) e (5,3) distam 3 unidades de A = (2,3).

Provando:

P = (-1,3)
A = (2,3)

$d_{AB}= \sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}+( y_{2}-y_{1})^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{( 2-(-1))^{2}+( 3-3)^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{3^{2}+0^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{9} \\ \\ d_{AB} = 3$

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P = (5,3)
A = (2,3)

$d_{AB}= \sqrt{( x_{2}-x_{1})^{2}+( y_{2}-y_{1})^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{( 2-5)^{2}+(3-3)^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{(-3)^{2}+(0)^{2}} \\ \\ d_{AB}= \sqrt{9} \\ \\ d_{AB}=3$

Agora faremos uma equação com o primeiro ponto que encontramos. Mas pode ser usado qualquer um dos dois.

$m=\frac{y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}} \\ \\ m=\frac{3-3}{2-(-1)} \\ \\ m= \frac{0}{3} \\ \\ m=0$

$y-y_{o}=m(x- x_{o}) \\ \\ y-3=0(x-(-1)) \\ \\ y-3=0 \\ \\ y=3$