Question

Determine uma equação do segundo gray da sente situação: um quadrado de lado (x+2)cm possuí área igual a 64cm2.

Answer 1

As equações que representam cada problema são:

(2x)2 = x . (x + 3)          (equação 1)

x2 + 3x = 4x                  (equação 2)

Eliminando os parênteses e fazendo com que o 2º membro seja igual a zero, temos:

4x2 = x2 + 3x            ⇒           3x2 – 3x = 0    (1)

x2 + 3x – 4x = 0        ⇒           x2 – x = 0        (2)

Determinando os coeficientes de cada equação:

3x2 – 3x = 0             a = 3            b = – 3               c = 0              (1)

x2 – x = 0                 a = 1            b = – 1               c = 0              (2)

Observe que é possível fatorar as expressões 3x2 – 3x, x2 – x e x2 + x.

Assim:

3x2 – 3x = 3x . (x – 1)                  fator comum 3x            (1)

x2 – x = x . (x – 1)                       fator comum x               (2)

Podemos escrever as equações usando:

3x . (x – 1) = 0          (1)

x . (x – 1) = 0            (2)

Se o produto de dois números reais (a e b) é igual a zero, o que podemos concluir quanto ao valor de a e de b?Sendo a ∈ , b ∈  e a . b = 0, então a = 0 ou b = 0.

a . b = 0  Þ  a = 0 ou b = 0

A equação ax2 + bx + c = 0, com a Î *, b Î  e c Î  quando c = 0 e b ¹ 0, pode ser fatorada, colocando o termo x em evidência.

ax2 + bx + c = 0 Û ax2 + bx = 0 Û x . (ax + b) = 0 Û x = 0 ou ax + b = 0 Û x = 0 ou x =  

Uma raiz da equação ax2 + bx = 0 é zero e a outra raiz obtemos resolvendo ax + b = 0:

Assim, as raízes da equação x . (ax + b) = 0 são x = 0 ou x =  , sendo , –  para U = .

Aplicando essa maneira, podemos resolver as equações que representam cada um dos problemas.

Para o problema 1

Assim 3x . (x – 1) = 0 Û x = 0 (não convém) ou, em se tratando de um problema de Geometria, x = 1.

Observe que, em se tratando de um problema de Geometria, para x = 0 não é possível obter o quadrado e nem o retângulo.

Para x = 1, temos que o lado do quadrado é igual a 2 e a largura do retângulo é 1 e seu comprimento 4. Sendo AQ a área do quadrado e AR a área do retângulo, temos que:

AQ = AR

(2x)2 = x . (x + 3)

para x = 1:

(2 . 1)2 = 1 . (1 + 3)

4 = 4

Resposta: O quadrado tem lado 2 cm e as dimensões do retângulo são 4 cm X 1 cm.

Para o problema 2

Para x = 0:

02 + 3 . 0 = 4 . 0

0 = 0

Para x = 1:

12 + 3 . 1 = 4 . 1

1 + 3 = 4

Resposta: O número é 0 ou 1.

No problema 1, temos duas raízes para a equação (2x)2 = x. (x + 3) Þ x = 0 ou x = 1, mas para x = 0 o problema não apresenta solução, pois trata-se de um caso de Geometria. No problema 2, temos duas raízes para cada equação: x2 + 3x = 4x Þ  x =  0 ou X = 1, x2 + 4x = 3x Þ x = 0 ou x = -1, sendo as duas raízes as soluções do problema.

Exercícios da aula