Question

Determine uma equação do plano pi que passa pelo ponto P(1,0,1) e contém a reta de equação r: ....

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, obtemos que a equação paramétrica do plano π que passa pelo ponto $\bf P(1,0,1)$ e contém a reta (r), é:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{( x, y, z) = (1,0 ,1) + (2, 0,1) \cdot u + ( 0 , 1,1 ) \cdot h}}}$

Temos a seguinte reta:

$\: \: \: \: \: \: \bf r : \begin{cases} \bf x - y + z + 1 = 0 \\ \bf 2x + y - z + 2 = 0\end{cases}$

Esta questão é bem extensa, então para esquematizar todo o processo, vamos inicialmente montar um roteiro hipotético.

• Roteiro:

$\begin{cases} 1) \: reta \: de \: intersec \tilde{a}o \: dos \: planos \\ 2) \: reta \: paralela \\ 3) \: vetor \: formado \: por \: pontos \: de \: ambas \: as \: retas \\ 4) \: equac \tilde{a}o \: vetorial \: do \: plano\end{cases}$

Ao observamos essa reta que o enunciado fornece, podemos observar que está implícito que a interseção de dois planos é um reta, sendo esta a reta que buscamos.

$\begin{cases}x - y + z + 1 = 0 \times ( - 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2x + y - z + 2 = 0 \end{cases} \\ subtraindo \: as \: equac \tilde{o}es \\ 3y - 3z = 0 \: \to \: \: 3y = 3z \: \to \: \boxed{y = z}$

Como obtemos que $\bf z = y$, então:

$x - z + z + 1 = 0 \: \to \: \: \boxed{ x = - 1}$

Para deixar no formato paramétrico, vamos dizer que $\bf y = t$. Logo:

$\: \: \: \: \: r: \begin{cases}x = - 1 \\ y = t \\ z = t \end{cases} \: \to \: \pi \: \: \cap \: \: \beta$

Sendo esta a equação que representa a interseção dos planos.

Tendo encontrado essa equação, vamos utilizar o seu vetor diretor para determinar uma equação paralela a ela que passe pelo ponto (1,0,1) dado na questão. Lembrando que o vetor diretor é:

$s : \begin{cases} x =u + a.t \\ y = r + b.t \\ z = k + c.t\end{cases} \: \to \: \underbrace{(a ,b , c) }_{vetor \: diretor}$

Utilizando esta lógica, conseguimos ver que o vetor diretor da reta r é igual a:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: v _{r} = (0, \: 1, \: 1)$

Um vetor paralelo a este, é basicamente um múltiplo dele, isto é, um número qualquer multiplicado por ele, gera um vetor paralelo, então digamos que o vetor da reta s que passa por (1,0,1) e que é paralela a r, tem vetor diretor sendo:

$v _{s} = \lambda \: . \: v_{r} \: \: \to \: \: v _{s} = 2 \: . \:( 0 ,1 , 1) \\ \bullet \: \: v _{s} = (0, \: 2, \: 2)$

Substituindo os dados necessários para montar a reta, ficamos com:

$s : \begin{cases}x = 1 + 0.t \\ y = 0 + 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \: \to \: v _{s} = (0, \: 2, \: 2)$

Tendo montado a reta, vamos em seguida montar um outro vetor a partir dos pontos conhecidos que fazem parte dessa reta, que são A(-1, 0, 0) para (r) e B(1, 0, 1) para (s).

• Vale ressaltar que para montar um vetor, basta fazer o ponto final menos o inicial.

$\vec{AB} = B - A \: \to \: \vec{AB} = (1,0 , 1) - ( - 1, 0, 0) \\ \vec{AB} = (1 + 1, 0 - 0, 1 - 0) \: \to \: \vec{AB} = (2, 0, 1)$

Conseguimos determinar dois vetores que são paralelos ao plano, sendo estas informações mais que suficiente para montar a equação vetorial de um plano, dada por:

$\:\:\:\:\:\boxed{(x, y, z) = ( x_{0}, y_{0} , z_{0}) + v_r\cdot t + v_s\cdot h}$

Substituindo os dados, temos o plano:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{( x, y, z) = (1,0 ,1) + (2, 0,1) \cdot u + ( 0 , 1,1 ) \cdot h}}}$

Espero ter ajudado.

Para complementar, acesse:

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