Question

Determine uma equação da elipse E cujo centro coincide com o vértice da parábola P: (y + 2) = 2x^2 , um dos seus vértices e o ponto V(0, 1) e os seus focos são os vértices da hipérbole H: x^2 − y^2 − 4y − 20 = 0. Esboce E indicando seus elementos.​

Answer 1

Resposta:

P: (y + 2) = 2x^2

y=2x²-2

Vértice=(-b/2a ; P(-b/2a) =(0 ; -2) é o centro da elipse

Um dos vértices=(0,-2+3)=(0,1) e o outro é (0, -2 -3)=(0,-5)

==>b=3

Focos vértices da hipérbole H:  x^2 − y^2 − 4y − 20 = 0

(x-0)²-(y+2)² +4-20=0

(x-0)²-(y+2)²=16

(x-0)²/4²-(y+2)²/4²=1

focos ==>(0-4 , -2)   e (4-0 ; -2) ==>(-4,-2) e (4,-2)

==>c=4

a²=b²+c²

a²=4²+3²

a=5

Vértices horizontais  a-c=5-4=1  ==> ((-4-1,-2) e (4+1,-2) ==>(-5,-2) e (5,-2)

elipse:

(w,u)=(0,-2) centro da circunferência

a=5

b=3

(x-w)²/a²+(y-u)²/b²=1

(x-0)²/5²+(y+2)²/3²=1 é a eq. da elipse

Answer 2

Vamos lá :

(y + 2) = 2x²

Essa parábola sofreu uma translação de eixo.

y´ = y - yo >> y´ = y + 2  >> y´ = y - (- 2)

x´ = x - xo >> x´= x         >> x´ = x - 0

V(xo , yo) é o vértice da parábola ... V(0, - 2)

O vértice da parábola é coincidente com o centro da elipse,então o C(0,-2).

Simplificando a equação da hipérbole ..

 

x² - y² - 4y - 20 = 0

x² - y² - 4y = 20

x² - 1(y² + 4y) = 20

x² - 1((y + 2)² - 4) = 20

x² - (y + 2)² + 4 = 20

x² - (y + 2)² = 20 - 4

x² - (y + 2)² = 16

x²/16 - (y + 2)²/16 = 1                    *** Hipérbole equilátera.

Centro da hipérbole Cₓ(0,-2)

a² = 16 ; b² = 16

a = 4     ; b = 4

V₁(- 4,-2) e V₂(4 , - 2)   >>> Focos da elipse

Retomando para elipse ...

a₁² = b₁² + c₁²                >>> b₁ = 3 e c₁ = 4

a₁² = 9 + 16

a₁² = 25

a₁ = 5

Vértice do eixo maior : V₁(- 5 , - 2) e V₂(5 , - 2)

Vértice do eixo menor : B₁(0,1) e B₂(0,-5)

Equação da Elipse.

(x - xc)²/a² + (y - yc)²/b² = 1                C(xc , yc) = C(0,- 2)

(x - 0)²/25 + (y - (- 2))²/9 = 1

x²/25 + (y + 2)²/9 = 1                             **Focos na horizontal

Espero ter ajudado !!!