Question

Determine uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto A(-1,3) seja igual à distância a reta y+3=0.

Answer 1

A equação da curva é x² + 2x - 12y + 1 = 0.

Vamos considerar que o ponto é (x,y).

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que a distância entre (x,y) e o ponto A = (-1,3) é definida por:

d² = (x + 1)² + (y - 3)²

d = √((x + 1)² + (y - 3)²).

Utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos que a distância entre o ponto (x,y) e a reta y + 3 = 0 é definida por:

$d=\frac{|0.x + 1.y + 3|}{\sqrt{0^2+1^2}}$

d = |y + 3|.

Como as duas distâncias são iguais, então temos que:

√((x + 1)² + (y - 3)²) = |y + 3|

(x + 1)² + (y - 3)² = (y + 3)²

x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 = y² + 6y + 9

x² + 2x + 1 - 6y - 6y = 0

x² + 2x - 12y + 1 = 0.

Ou seja, a curva procurada é uma parábola.