Question

determine uma equação da circunferencia que passa pelos pontos a(5,0), b(4,3) e C(-4,-3). (Sugestao: chame o centro de O(a,b) e use o fato de que d(A,O) = d(B,O) = d(C,O) = r.)

Answer 1

A equação reduzida da circunferência é dada por:
(x - a)² + (y - b)² = r²

A(5,0), temos:
(5 - a)² + (0 - b)² = r² →
5² -2.5.a+ a² + 0² -2.0.b+ b² = r²
. : a² -10a + 25 + b² = r²

B(4,3), temos:
(4 - a)² + (3 - b)² = r² →
4² -2.4.a+ a² + 3² -2.3.b + b² = r² →
16 - 8a + a² + 9 - 6b + b² = r²
. : a² - 8a + 25 - 6b + b² = r²

C(-4,-3), temos:
(-4 - a)² + (-3 - b)² = r² →
(-4)² -2.(-4).a+ a² + (-3)² -2.(-3).b + b² = r² →
16 + 8a + a² + 9 + 6b + b² = r²
. :a² + 25 + 8a + 6b + b² = r²

Ora, r² = a² -10a + 25 + b²=a² - 8a + 25 - 6b + b² = a² + 25 + 8a + 6b + b²
escolhemos duas para idenficar as incognitas a e b:
a² - 8a + 25 - 6b + b² = a² + 25 + 8a + 6b + b² →
- 16a - 12b = 0 (.-1)→
16a + 12b = 0 (÷4)→
. : 4a + 3b = 0 (equação I)


a² -10a + 25 + b²=a² - 8a + 25 - 6b + b²
-2a + 6b = 0 (.-1)→
2a - 6b = 0 (÷2)→
a - 3b = 0 . : a = 3b (equação II)

Substituindo o resultado da equação II em I, teremos:
4.3b + 3b = 0 →
12b + 3b = 0 →
15b = 0 →
b = 0/15
. : b = 0., por conseguinte substituino na (equação II) a = 3b
→ a = 3.0 . : a = 0.

Escolhendo uma das equações gerais e substituindo os valores
encontrados, teremos:

a² -10a + 25 + b² = r² →
0² -10.0 + 25 + 0² = r² →
25 = r² →
√25 = r
. : r = 5

Substituindo os valores encontrados na equação reduzida
da circunferência é dada por (x - a)² + (y - b)² = r², concluiremos:
(x - 0)² + (y - 0)² = 5²
. : x² + y² = 5²