Question

Determine uma equação da circunferência γ que passa pelos pontos A(0, 5) e B(1, 0) , cujo centro pertence à reta bissetriz dos quadrantes ímpares. ​

Answer 1

Resposta:

$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 13$

Explicação passo-a-passo:

Essa questão faz o uso de alguns conceitos:

Equação da circunferência reduzida

$(x-Xc)^2 + (y-Yc)^2 = R^2$

em que Xc = x do centro e Yc = y do centro

Equação de uma reta bissetriz ao eixo x e y

y = x

Resolução:

Como o centro está localizado nessa reta, significa que sua coordenada é C (Xc, Xc), já que y=x

Então vamos montar um sistema de equações com os valores dados pela questão, utilizando a fórmula da circunferência:

A(0, 5)

$(0-Xc)^2 + (5-Xc)^2 = R^2\\Xc^2 + 25 -10Xc + Xc^2 = R^2\\2Xc^2 -10Xc + 25 = R^2$

B(1, 0)

$(1-Xc)^2 + (0-Xc)^2 = R^2\\1 - 2Xc + Xc^2 + Xc^2 = R^2\\2Xc^2 - 2Xc + 1 = R^2$

Agora é só montar o sistema:

$\left \{2Xc^2 -10Xc + 25 = R^2(.-1)} \atop {2Xc^2 - 2Xc + 1 = R^2}} \right.\\\\\\\left \{ {{-2Xc^2 +10Xc - 25 = -R^2} \atop {2Xc^2 - 2Xc + 1 = R^2}} \right. \\\\Somando...\\\\8Xc -24=0\\8Xc = 24\\Xc = 3$

Com o ponto central da circunferência conseguimos descobrir o Raio para responder a questão por completo:

$(0-3)^2 + (5-3)^2 = R^2\\9 + 4 = R^2\\R^2 = 13\\\\Provando...\\\\(1-3)^2 + (0-3)^2 = 13\\4 +9=13\\13=13 (Verdadeiro)$

Além disso, o ponto (3, 3) está no primeiro quadrante e na reta bissetriz que pertence ao quadrantes ímpares (Q1 e Q3)

Logo a equação dessa circunferência γ é:

$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 13$