Question

Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão:
S = {(x, y, z) Є R³: x - y + 2z = 0}

Answer 1

Resposta:

A base para o espaço vetorial S são os vetores A = (1,1,0), B = (1,-1,-1).

Explicação passo a passo:

Podemos escrever a equação que define o espaço S como um produto escalar:

(x,y,z) . (1,-1,2) = 0           (1)

Chamando V = (1,-1,2)

(x,y,z) . V = 0                   (2)  

As equações 1 e 2 definem um plano em $R^3$, ortogonal ao vetor V. Dadas 2 coordenadas de um ponto a terceira está definida, então o espaço S tem 2 dimensões.

Podemos usar a equação (1) para encontrar alguns vetores dentro do plano S:

A = (1,1,0), B = (1,-1,-1)

De fato,

(1,1,0) . (1,-1,2) = 0

(1,-1,-1) .(1,-1,2) = 0

E (1,1,0).(1,-1,-1) = 1-1 = 0

O produto escalar A.B é igual a 0, então A e B são ortogonais. Vamos escrever um vetor X a como combinação linear dos vetores A e B:

X = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1)  

= (a,a,0) + (b, -b, -b)

= (a+b, a-b, -b)

Fazendo a transformação x=a+b, y=a-b, z=-b podemos verificar que x-y+2*z = 0. Invertendo essas equações,

a = (x+y)/2

b = (x-y)/2

Assim para cada vetor X=(x,y,z) em S existem (a,b) tais que V = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1), portanto A e B são uma base de S.