Question

Determine um vetor w unitário que seja ortogonal aos vetores u=(3,2,-1) e v =(-1,-2,-1)

Answer 1

$u=(3, 2, -1) \\ v=(-1, -2, -1) \\ w=(x, y, z) \\ \\ \\ u\cdotw=0 => (3, 2, -1) \cdot (x, y, z)=0 => 3x+2y-z=0 \\ \\ \\v=(-1, -2, -1) \cdot (x, y, z) =0 => -x-2y-z=0 \\ \\ ||w|| = \sqrt{x^2+ y^2+z^2} =1 => x^2+ y^2+z^2=1$

$3x+2y-=0 => z=3x+2y (I) \\ x+2y+z=0 => z=-x-2y (II) \\ \\ Resolvendo - I em II \\ \\ 2z=2x => z=x \\ \\ Somando \\ \\ 3x+2y-=0 => z=3x+2y (I) \\ x+2y+z=0 => z=-x-2y (II) \\ \\ 4x+4y=0 => x=-y \\ x=z=-y$

Aplicando o resulta em III para encontrar x.

$x=-y => y=-x \\ x=z \\ x^2+y^2+z^2=1 \\ \\ x^2+(-x)^2+z^2=1 \\ x^2+x^2+x^2=1 \\ 3x^2=1 \\ x^2=\frac{1}{3} \\ x=\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ ou\\ x=_-\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ y=-x \\ y=-(\sqrt[]{\frac{1}{3} } )=_-\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ ou \\ y=-(_-\sqrt[]{\frac{1}{3} } )=\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ z=x \\ z=\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ ou\\ z=_-\sqrt[]{\frac{1}{3} } \\ \\ (\sqrt[]{\frac{1}{3} } , _-\sqrt[]{\frac{1}{3} } , \sqrt[]{\frac{1}{3} } )$

ou $(_-\sqrt[]{\frac{1}{3} } , \sqrt[]{\frac{1}{3} } , _-\sqrt[]{\frac{1}{3} } )$