Question

Determine um vetor w unitário que seja ortogonal aos vetores: u=(3,2,-1) e v= (-1-2-1)

Answer 1

Olá, Leonelacamargo.

O produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro vetor, ortogonal aos dois vetores. Para saber as coordenadas deste vetor ortogonal, vamos então resolver o produto vetorial entre os vetores (3,2,-1) e (-1,-2,-1):

$\vec{u}\ \times\ \vec{v} = (3,2,-1) \times (-1,-2,-1)$

$\vec{u}\ \times \vec{v}\ = det\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&2&-1\\-1&-2&-1\end{array}\right]$

$\vec{u}\ \times \vec{v} = \vec{i}*det\left[\begin{array}{cc}2&-1\\-2&-1\\\end{array}\right] - \vec{j}*det\left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&-1\\\end{array}\right] + \vec{k}*det\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&-2\\\end{array}\right]$

$\vec{u}\ \times\ \vec{v}\ = \vec{i}(-2 -2) - \vec{j}(-3-1) + \vec{k}(-6+2)$

$\vec{u}\ \times\ \vec{v}\ = -4\vec{i}\ + 4\ve{j}\ - 4\vec{k}$

Temos, então, que as coordenadas do vetor ortogonal aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é o vetor $\vec{x}$ = (-4, 4, -4). Entretanto, este vetor não é unitário, pois sua norma é:

$||\vec{x}||\ =\ \sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

Para transformar o vetor $\vec{x}$ num vetor unitário, isto é, um vetor cuja norma é 1, $\vec{w}$ basta dividir as coordenadas de $\vec{x}$ pela norma de $\vec{x}$.

Isto nos leva à:

$\vec{w}\ =\ (\frac{-4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{-4}{4\sqrt{3}})$

$\vec{w}\ =\ (\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}})$

$\vec{w}\ =\ (\frac{-\sqrt{3}}{{3}}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{-\sqrt{3}}{3})$

Espero ter ajudado.