Determine um vetor ortornomal ao vetores A=(2,6,-1) e B=(0,-2,1)
Soluções para a tarefa
Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.
Dados dois vetores e , em um sistema de coordenadas, o vetor que é simultaneamente ortogonal aos dois vetores é calculado pelo produto vetorial:
Um vetor ortonormal aos dois vetores é um vetor ortogonal a estes cuja norma (ou comprimento) é igual a , isto é, pode ser calculado pela fórmula .
A norma de um vetor em um sistema de coordenadas é calculado pela fórmula: .
Então, substituindo as coordenadas dos vetores e no determinante, calculamos o produto vetorial
Para calcular o determinante de ordem , utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas da matriz à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.
Replicando as colunas, temos:
Aplique a Regra de Sarrus
Podemos escrever o vetor em um sistema de coordenadas, cuja base geradora são os vetores :
Assim, teremos:
Sabendo que qualquer vetor paralelo ao vetor ortogonal a dois vetores é também ortogonal a estes, assumimos o menor vetor possível:
Então, dividimos o vetor pela sua norma
Este é o vetor ortonormal que buscávamos.