Question

Determine um ponto que dista 20 unidades do ponto A (0, 0) e 15 unidades do ponto B(25, 0)?

Answer 1

Seja $P(x_p, y_p)$ o ponto que buscamos. A distância AP deve ser igual a 20, portanto,

$AP=\sqrt{(x_p - x_a)^2+(y_p - y_a)^2}=\sqrt{(x_p -0)^2+(y_p - 0)^2} \\ = \sqrt{(x_p -0)^2+(y_p - 0)^2}=\sqrt{x_p^2+y_p^2}=20$

Elevando ao quadrado, temos 

$x_p^2+y_p^2=400$

Em seguida, a distância BP deve ser igual a 15, portanto, 

$\sqrt{(x_p - x_b)^2+(y_p - y_b)^2}}=\sqrt{(x_p - 25)^2+(y_p - 0)^2}} \\ =\sqrt{(x_p - 25)^2+y_p^2}}} =15$

Elevando ao quadrado, temos

${(x_p - 25)^2+y_p^2}}} =225 \\ x_p^2-50x_p+625+y_p^2=225 \\ x_p^2+y_p^2-50x_p+625=225$

No entanto, sabemos que $x_p^2+y_p^2=400$. Substituindo na equação anterior, tem-se

$(x_p^2+y_p^2)-50x_p+625=225 \\ 400-50x_p+625=225 \\x_p = 16$

Sabendo a coordenada $x_p$, podemos retornar a uma das equações anteriores e obter $y_p$:

$x_p^2 +y_p^2= 400 \\(16)^2+y_p^2 =400 \\ y_p^2=400-256=144 \\y_p^2 =144\rightarrow y_p =\sqrt{144}=12$

Sendo assim, concluímos que o ponto P é $P(16, 12)$.