Question

Determine um ponto e um vetor normal ao plano π no seguinte caso:

(a) π : P = (1, 0, 1) + λ(2, −1, 3) + β(1, 1, 0), λ, β ∈ R;​

Answer 1

Facilmente vemos que o ponto (1, 0, 1) pertence ao plano pois basta considerarmos que $\lambda=\beta=0$ para obtê-lo. Pela equação do plano, também podemos concluir que os vetores $\vec{u}=(2,-1,3)$ e $\vec{v}=(1,1,0)$ são paralelos ao plano, logo o vetor resultante do produto vetorial entre eles deve ser normal ao plano:

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\1&1&0\end{vmatrix}$

$\vec{u}\times\vec{v}=\vec{i}\cdot(-1)\cdot0+\vec{j}\cdot3\cdot1+\vec{k}\cdot1\cdot2-[\vec{k}\cdot(-1)\cdot1+\vec{j}\cdot2\cdot0+\vec{i}\cdot1\cdot3]$

$\vec{u}\times\vec{v}=3\vec{j}+2\vec{k}-(-\vec{k}+3\vec{i})$

$\vec{u}\times\vec{v}=-3\vec{i}+3\vec{j}+3\vec{k}=(-3,3,3)$