Question

Determine um polinomio P(x) de grau 7, com coeficientes reais, tal que x1=1 é um zero de multiplicidade três, x2=2 é um zero de multiplicidade dois e x3= -1 é um zero simples. Sabe-se tambem que P(3)=64

Answer 1

Adotando o sétimo e último zero como sendo "a", vamos obter a primeira conclusão:

$\boldsymbol{P(x)=(x-1)\times(x-1)\times(x-1)\times(x-2)\times(x-2)\times(x+1)\times(x-a)}$

Sabendo ainda que P(3)=64, podemos aplicá-la à primeira conclusão, encontrando o valor de "a"; assim:

$(3-1)\times(3-1)\times(3-1)\times(3-2)\times(3-2)\times(3+1)\times(3-a)=64\to\\\\2\times 2\times 2\times 1\times 1\times 4\times(3-a)=64\to\\\\32\times(3-a)=64\to 3-a=\dfrac{64}{32}\to 3-a=2\to\boxed{a=1}$

Portanto, o polinômio será, ainda em sua forma fatorada:

$P(x)=\underbrace{(x-1)\cdot(x-1)\cdot(x-1)}_{(x-1)^3}\cdot\underbrace{(x-2)\cdot(x-2)}_{(x-2)^2}\cdot\underbrace{(x+1)\cdot(x-1)}_{x^2-1}\to\\\\ P(x)=(x-1)^3\cdot(x-2)^2\cdot(x^2-1)$

Fazendo o produto de todos por todos, teremos:

$\boldsymbol{\boxed{P(x)=x^7-7x^6+18x^5-18x^4-3x^3+21x^2-16x+4}\checkmark}$

Essa já é a resposta final, entretanto, para não deixar dúvidas, vamos realizar a PROVA REAL, provando que P(3)=64:

$P(3)=3^7-7.3^6+18.3^5-18.3^4-3.3^3+21.3^2-16.3+4\to\\\\P(3)=2187-5103+4374-1458-81+189-48+4\to\\\\P(3)=2187+4374+189+4-(4103+1458+81+48)\to\\\\P(3)=6754-5690\to\boxed{P(3)=64}$

É isso!! :)