Question

determine três sequencias que ao mesmo tempo seja pa e pg.

Answer 1

Vamos considerar "r" razão da PA e "q" razão da PG, teremos:

PA = {x-r ; x ; x+r}
PG = {x/q ; x ; x*q}

Igualando a PA e a PG teremos:

x - r = x/q
x = x
x + r = x*q

A equação 2 não nos diz muito, mas as equações 1 e 3 nos dão uma relação entre r e q.

Pela equação 1 temos:

x - r = x/q
xq - rq = x
xq - x = rq
x * (q - 1) = rq
x = rq / (q - 1)

Pela equação 3 temos

x + r = xq
xq - x = r
x  * (q - 1) = r
x = r / (q - 1)

Igualando as duas equações obtidas temos que:

rq / (q - 1) = r / (q - 1)
rq = r
rq - r = 0
r * (q - 1) = 0

Assim, temos:

r = 0      e   q - 1 = 0⇒ q = 1

Assim, a PA e a PG ficam:

PA = {x-r ; x ; x+r} = {x-0 ; x ; x+0} = {x ; x ; x}
PG = {x/q ; x ; x*q} = {x/1 ; x ; x*1} = {x ; x ; x}

Portanto, basta atribuir três valores disintos para x que teremos ao mesmo tempo uma PA e um PG, por exemplo

x = 2 ⇒ {2 ; 2 ; 2} é uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1.
x = -7 ⇒ {-7 ; -7 ; -7} é uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1.