Question

Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

Answer 1

Resposta:

Esse problema exige conhecimento das desigualdades entre as Médias Aritmética e Geométrica.

x+y+z=100 divide-se tudo por 4

x+y+z / 4 = 25

xyz=?

Para que o Produto seja máximo é necessário que a Média Aritmética seja igual a Média Geométrica. Assim temos:

x+y+z / 4 ≥ ∛x.y.z

25 = ∛x.y.z

(25)³ = (∛x.y.z)³

x.y.z = 15625 Mas o Produto só assume o valor máximo quando x= y = z. Assim temos:

x = y = z ⇒ x³ = 15625

x = ∛15625 ⇒ x = 25

Answer 2

Os três números positivos tal que a soma seja 100 e o produto máximo são todos iguais a $\dfrac{100}{3}$.

Desigualdade das Médias

$Q \geq A\geq G\geq H$

• $Q$ é a média quadrática;

$Q=\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2}{n}}$

• $A$ é a média aritmética;

$A=\dfrac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}$

• $G$ é a média geométrica;

$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}$

• $H$ é a média harmônica.

$H=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots +\dfrac{1}{x_n}}$

Para resolver esta questão vamos aplicar a desigualdade das médias entre a Média Aritmética e Média Geométrica.

$A\geq G$

$\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$

Como a soma dos três números positivos vale 100, para obtermos o produto máximo, estes termos devem ser todos iguais.

$\dfrac{100}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\\\\\left(\dfrac{100}{3}\right)^3\geq xyz\\\\\left(\dfrac{100}{3}\right)^3\geq x^3\\\\x\leq \dfrac{100}{3}\\\\x=\dfrac{100}{3}$

Para saber mais sobre desigualdade das médias acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/10689169

https://brainly.com.br/tarefa/38282019