Question

Determine três números em pg tais que sua soma seja 21 e seu produto, 64.

Answer 1

Representando esses números por a, b e c, temos:

a + b + c = 21

a · b · c = 64

Como esses números estão em PG, temos a seguinte relação:

b² = ac

Assim, na equação do produto, temos:

a · b · c = 64

b·b² = 64

b³ = 64

b = ∛64

b = 4

Substituindo b na expressão da soma, temos:

a + b + c = 21

a + 4 + c = 21

a + c = 17

Na expressão do produto, temos:

a·c·4 = 64

a·c = 16

Construindo um sistema de equações:

{a + c = 17 ⇒ c = 17 - a

{a·c = 16

a(17 - a) = 16

17a - a² = 16

a² - 17a + 16 = 0

Δ = (-17)² - 4·1·16

Δ = 289 - 64

Δ = 225

a₁ = (17 + 15)/2

a₁ = 32/2

a₁ = 16

a₂ = (17 - 15)/2

a₂ = 2/2

a₂ = 1

Considerando a progressão crescente, ficarei com o menor valor. No caso, a = 1. Então, o valor de c é:

c = 17 - 1

c = 16

Portanto, os três termos são:

1, 4 e 16