Question

Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo ]0, pi[ que satisfazem a equação 3tg x + 2 cos x = 3 sec x.

Answer 1

3tagx + 2cosx = 3secx
.
3•senx/cosx + 2cosx = 3• 1/cosx
.
Multiplicando ambos os membros por cosx
.
3senx + 2cos²x = 3
.
3senx + 2•(1 - sen²x) = 3
.
3senx + 2 - 2sen²x = 3
.
-2sen²x + 3senx + 2 - 3 = 0
.
-2sen²x + 3senx - 1 = 0
.
.
fazendo
.
senx = t
.
-2t² + 3t - 1 = 0
.
a = -2
b = 3
c = -1
.
∆ = b² - 4ac
∆ = 9 - 8
∆ = 1
.
t½ = (-b ± √∆)/2a
.
t½ = (-3 ± √1)/-4
.
t½ = (-3±1)/-4
.
t1 = -2/-4
.
t1 = 1/2
.
t2 = -4/-4
.
t2 = 1
.
.
voltando na suposição
.
senx = t
.
para t1 = 1/2
.
senx = 1/2
.
senx = senπ/6
.
{x = π/6 + 2kπ
ou
{x = π - π/6 + 2kπ → x = 5π/6 + 2kπ
.
.
para t = 1
.
senx = 1
.
senx = senπ/2
.
x = π/2 + 2kπ
.
Solução
.
S = {x € IR : x = π/6 + 2kπ ; x = 5π/6 + 2kπ v x = π/2 + 2kπ ; k € Z }