Question

Determine todos os subgrupos não triviais do grupo aditivo $Z_{6}$. Para cada subgrupo H encontrado, construa a tábua do grupo quociente $Z_{6}$ | H

Answer 1

Resposta:

Pelo Teorema de Lagrange, devemos ter subgrupos com ordem 1,2,3 e 6. Os subgrupos triviais de <$Z_{6}$,+> são 0={0} e 1=5={0,1,2,3,4,5}. No entanto, o exercício pede para determinarmos os subgrupos não triviais, sendo assim chegamos que eles são 2=4={0,2,4} e 3={0,3}. (Note que $Z_{6}$ com a operação de adição é cíclico).

Com H1={0,2,4} e H2={0,3}, vamos calcular as classes laterais à esquerda de cada subgrupo em $Z_{6}$:

H1:

0+H1={0+0,0+2,0+4}={0,2,4}=H1

1+H1={1+0,1+2,1+4}={1,3,5}

A união disjunta dessas duas classes formam $Z_{6}$, então não existem mais classes distintas e Z6/H1={H1,1+H1}

H2:

0+H2={0+0,0+3}={0,3}=H2

1+H2={1+0,1+3}={1,4}

2+H2={2+0,2+3}={2,5}

Temos que H2∪(1+H2)∪(2+H2)=$Z_{6}$ e Z6/H2={H2,1+H2,2+H2}

$Z_{6} /H1$:

   +       H1      1+H1

  H1      H1      1+H1

1+H1    1+H1       H1

$Z_{6} /H2$:

+            H2       1+H2      2+H2

H2         H2       1+H2      2+H2

1+H2      1+H2     2+H2      H2

2+H2     2+H2     H2        1+H2