Question

Determine todos os possíveis valores para x ∈ Z, que tornam verdadeira a congruência:

a) x ≡ 8 (mod 12)

b) x ≡ 25 (mod 7)

c) 5 ≡ x (mod 8)

d) 2x ≡ 8 (mod 12)

e) 5x ≡ 3x − 4 (mod 8)

f) 7x + 2 ≡ 4x − 10 (mod 9)

Answer 1

a) Da definição de congruência, todo x da forma 12k+8 satisfará o problema (ex.: 8, 20, 32, etc).

b)$x\equiv 25\equiv 21+4\equiv 4\: (7)$. Análogo ao item anterior, x é da forma 7k+4.

c) Analógo ao item a)

d) (2, 12)=2. Logo: $2x\equiv 8 \: (12)\Leftrightarrow x\equiv 4 \: (6)$. Termine como os itens anteriores.

e)$5x\equiv 3x-4\equiv 3x+4\: (8)\Leftrightarrow 2x\equiv 4 \: (8)$. (2, 8)=2. $x\equiv 2 \: (4).$

f) Faça como no item anterior.

Convenções: (a, b)=mdc(a, b)

$a\equiv b \: (m) \Leftrightarrow a \equiv b\: (mod\: m)$