Matemática, perguntado por Nerd1990, 7 meses atrás

Determine todos os pontos (x, y) que pertencem à circunferência de centro (5, 0) e raio 5, que satisfazem a equação:

$\sf \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{ x { }^{2} - 7x - 5y - 4}$

$\red{\boxed{\mathbb{ATT: NERD}}}$

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Bem, estamos lidando com uma questão de geometria analítica sobre circunferência.

A questão fornece as informações de centro e raio respectivamente:

→ C(5,0);

→ raio = 5

Com isso, podemos elaborar uma expressão que defina essa circunferência, usando a forma reduzida padrão de uma circunferência qualquer:

$\large \red{\underline{\boxed{\tt (x-x_c)^{2} +(y-y_c)^{2} = R^2}}}$

Tal que:

→ x e y são valores arbitrários que condizem com a circunferência;

→ Xc e Yc são as coordenadas do centro;

→ R é o raio.

Logo, agrupando os termos, resolvendo o produto notável e manipulando a expressão, temos:

$\large \tt (x-5)^{2} +(y - 0)^{2} = R^2\\ \large \tt x^{2} - 10x + 25 + y^{2} = 25 \\ \large \tt {x}^{2} - 10 + \cancel{25} - \cancel{25} + {y}^{2} = 0 \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: {x}^{2} - 10x + y^{2} = 0 }}}$

Obtemos a equação da reta, porém a questão tbm nos deu uma equação que em teoria nos dá pontos condizentes, logo faz sentido manipular.

Em equações irracionais, podemos pensar em elevar ambos os lados da equação ao quadrado, segundo as noções comuns Euclidianas.

$\tt (\sqrt{3x - y - 4} )^{2} = (\sqrt{ x^{2} - 7x - 5y - 4})^{2} \\ \large \tt {x}^{2} - 7x - 5y - 4 - 3x + y + 4 \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: {x}^{2} - 10x - 4y = 0 }}}$

Bom, são duas equações que dão pontos para a circunferência e de certa forma a descrevem, logo posso elaborar um sistema de equações.

$\begin{cases} \large \tt {x}^{2} - 10x + {y}^{2} = 0 \\ \large \tt {x}^{2} - 10x - 4y = 0 \: \cdot \blue{ ( - 1)} \end{cases} \\ \underline{ { \huge{_{_+}}}\begin{cases} \large \tt \cancel{ {x}^{2} } \cancel{ - 10x} + {y}^{2} = 0 \\ \large \tt \cancel{ - {x}^{2}} \cancel{ + 10x } + 4y = 0 \end{cases} }\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: {y}^{2} + 4y = 0 }}}$

Posso descobrir as raízes dessa equação incompleta pelo método de fatoração:

$\large \tt {y}^{2} + 4y = 0 \\ \large \tt y(y + 4) = 0 \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore \: y_1 = 0 \: \wedge \: y_2 = - 4}}}$

Com os pontos de y, podemos descobrir os de x substituindo em qualquer uma das equações:

$\large \tt {x}^{2} - 10x + {y}^{2} \: \: \forall \: y = 0\\ \large \tt x(x - 10) = 0\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 0 \: \wedge \: x_2 = 10}}}$

Com isso temos dois pares ordenados quando y é igual a 0.

Fazendo para y = -4, temos:

$\large \tt {x}^{2} - 10x + {y}^{2} = 0 \: \: \forall \: y = - 4 \\ \red{\large \tt {x}^{2} - 10x + 16 = 0 }$

Aqui você pode resolver a equação do segundo grau da forma que achar melhor, por exemplo irei resolver por relações de Girard:

$\large \tt a {x}^{2} + bx + c = 0 \\ \large \tt sum= \tfrac{ - b}{a} = \tfrac{ - ( - 10)}{1} \: \: \: \: \: \: prod= \tfrac{c}{a} \\ \large \tt sum= \tfrac{ - ( - 10)}{1} \: \: \: \: \: \: prod= \tfrac{16}{1} \\ \large \tt sum = 10 = 8 + 2 \\ \large \tt prod = 16 = 8 \cdot 2\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 8 \: \wedge \: x_2 = 2}}}$

Temos mais dois pares quando y é igual a -4.

Anotando esses pares:

$\red{\large \tt \forall \: y = 0 \: \exist \: (0,0) \: \wedge \: (10,0)}\\ \red{ \large \tt \forall \: y = - 4 \: \exist \: (8, - 4) \: \wedge \: (2, - 4)}$

Lembra da primeira equação, a que foi dada na questão. Devemos usar esses pontos descobertos nela, para verificarmos a existência deles.

❏ Ponto (0 , 0)

$\tt \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{ x { }^{2} - 7x - 5y - 4} \\\tt \sqrt{3 \cdot 0 - 0 - 4} = \sqrt{ 0 { }^{2} - 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 4}\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \sqrt{ - 4} = \sqrt{ - 4} \Rightarrow \nexists \: \mathbb{R}}}}$

Perceba que no ponto P(0 , 0) não é existente um valor real, pois se trata de um número complexo, portanto esse valor não é expressado num gráfico cartesiano.

❏ Ponto (10 , 0)

$\tt \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{ x { }^{2} - 7x - 5y - 4} \\ \tt \sqrt{3 \cdot 10 - 0 - 4} = \sqrt{ 10^{2} - 7 \cdot 10 - 5 \cdot 0 - 4}\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \sqrt{26} = \sqrt{26}}}}$

O ponto P(10 , 0) pertence a circunferência e é expressado no gráfico.

❏ Ponto (8 , -4)

$\tt \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{ x { }^{2} - 7x - 5y - 4} \\ \tt \sqrt{3 \cdot 8 - ( - 4) - 4} = \sqrt{ 8^{2} - 7 \cdot 8 - 5 \cdot ( - 4) - 4}\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \sqrt{24} = \sqrt{24}}}}$

O ponto P(8 , -4) é válido para a circunferência e pode ser expressado no plano cartesiano.

❏ Ponto (2 , -4)

$\tt \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{ x { }^{2} - 7x - 5y - 4} \\ \tt \sqrt{3 \cdot 2 - ( - 4) - 4} = \sqrt{ 2^{2} - 7 \cdot 2 - 5 \cdot ( - 4) - 4}\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \sqrt{6} = \sqrt{6}}}}$