Question

Determine todos os números complexos z tais que z. Z + 2z = (Z)².​

Answer 1

Analisando a igualdade e utilizando as propriedades dos números complexos, temos que, as soluções são dadas por:

• x = 1 e y = 1, ou seja, z = 1 + i.
• x = 1 e y = -1, ou seja, z = 1 - i.
• x = 0 e y = 0, ou seja, z = 0.

Números complexos

Um número complexo z pode ser representado pela expressão x + yi, onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária. Temos que, o quadrado da unidade imaginária é igual a -1 e o conjugado de z é x - yi, ou seja:

$i^2 = -1$

$\overline{z} = x - iy$

Soluções da equação

Substituindo os valores de z e do seu conjugado na expressão, temos a seguinte igualdade:

$(x + iy)(x-iy) + 2(x+iy) = (x+ iy)^2$

Utilizando a propriedade da unidade imaginária para simplificar a expressão, obtemos que:

$x^2 + y^2 + 2x + 2iy = x^2 + 2ixy -y^2$

$(2y^2 + 2x) + i(2y -2xy) = 0$

Igualando a parte real e a parte imaginária a zero, temos que:

$2y^2 + 2x = 0$

$2y -2xy = 0$

$y^2 = x$

$y = xy$

Para $y \neq 0$, temos:

$y^2 = x$

$x = 1$

$x = 1 \quad y = \pm 1$

Para $y = 0$, temos que $x = 0$

Para mais informações sobre números complexos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51300378

#SPJ1