Question

determine todas as soluções da equação diofantina 143x + 17y =132

Answer 1

Resposta: O conjunto solução da equação diofantina é S = {(660 + 17k, -5.544 - 143k)}, k ∈ ℤ.

Somos solicitados a encontrar todas as soluções inteiras da equação diofantina 143x + 17y = 132, mas tenha em mente que encontrar todas as soluções inteiras de uma equação diofantina tipo ax + by = c é impossível, pois uma equação diofantina tem infinitas soluções inteiras, portanto, é impossível listar todas as soluções inteiras de uma equação diofantina. Portanto, só temos que resolver a equação diofantina uma vez e, assim, encontrar uma solução geral para ela que aborde todas as soluções possíveis dessa equação.

Para encontrar esta solução geral da nossa equação Diofantina devemos primeiro verificar que a nossa equação Diofantina admite soluções inteiras, para esta verificação devemos verificar que o máximo divisor comum (mdc) de a e b divide c. Para encontrar o máximo divisor comum de a e b devemos aplicar o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas com quociente e resto) de tal forma que se aplicarmos o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 143 e 17 obtemos como resultados:.

${\begin{array}{ccc}\sf 143 &=&\sf17\cdot 8+7\\\\ \sf17&=& \sf 7\cdot 2+3 \\\\ \sf 7&=& \sf 3\cdot 2 +1 \end{array}}$

Então sabemos que a equação tem solução pois mdc é igual a 1 e ele divide o termo independente $\sf c~=~132$. Como a equação diofantina admite soluções inteiras, pode-se dizer que se é possível encontrar uma solução geral para as variáveis "x" e "y", para encontrar a solução geral de uma equação diofantina devemos até conhecer uma solução particular de o tipo $\sf S_p~=~\left(x_p,~y_p\right)$. Se conhecermos uma solução particular para a equação diofantina, podemos determinar as soluções dela usando as fórmulas:

$\sf S~=~\begin{cases}\sf x&=&\sf x_p~+~bk\\\\ \sf y&=&\sf y_p~-~ak\end{cases},~\sf\forall k\in\mathbb{Z}$

A equação diofantina que temos será muito complexa para encontrar uma solução, portanto devemos aplicar a Identidade de Bézout para encontrar as soluções particulares de nossa equação diofantina. Se aplicarmos a Identidade de Bézout, devemos resolver esta nova equação 143x + 17y = 132.

Para resolver essa nova equação vamos para Retornando o algoritmo, da última linha, temos:

$\sf7~=~3\cdot 2+1\\\\ \sf7 -3\cdot 2 ~=~1$

Elimine o 3, substituindo-o por $\sf17-7\cdot 2$ :

$\sf 7 -\left[17-7\cdot 2\right]\cdot2~=~ 1 \\\\ \sf \ 7 - 17\cdot 2+7\cdot 4~=~1 \\\\ \sf 7\cdot 5 - 17\cdot 2~=~1$

Por fim, elimine o 7, substituindo-o por $\sf143-17\cdot 8$:

$\sf \left[143-17\cdot8\right]\cdot 5 -17\cdot 2~=~1\\\\ \sf143\cdot 5 -17\cdot 40- 17\cdot 2~=~1\\\\ \sf 143\cdot 5 - 17\cdot 42~=~1$

Se compararmos corretamente, podemos ver que essas são as soluções da equação 143x + 17y = 1, portanto, se queremos encontrar as soluções particulares da equação 143x + 17y = 132, teremos que multiplicar 132 em ambas as partes da equação equação para preservar a igualdade.

$\sf 143\cdot 5 -17\cdot 42~=~1\\\\ \sf 143\cdot (5\cdot 132 )- 17\cdot (42\cdot 132)~=~132\\\\ \sf 143\cdot660-17 \cdot5544~=~132$

a partir daqui podemos verificar que as soluções particulares da nossa equação diofantina são $\sf S_p~=~(660,~-5.544)$ portanto os valores para "x" e "y" que satisfazem esta equação diofantina pode ser obtido pela fórmula:

$\sf S~=~\begin{cases}\sf x&=&\sf 660~+~17k\\\\ \sf y&=&\sf -5.544~-~143k\end{cases},~\sf \forall k\in\mathbb{Z}$