Question

Determine todas as assíntotas das funções demonstradas na imagem abaixo:

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{x {}^{2} + 1}{3x {}^{2} - x}$

Para encontramos as assíntotas, devemos seguir alguns passos para encontrar a horizontal e a vertical.

• Assíntota Horizontal:

Primeiro vamos analisar o limite dessa função tendendo para +infinito ou -infinito. No caso eu escolherei o x tendendo para +infinito, então:

$\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{x {}^{2} + 1 }{3x {}^{2} - x}$

Divinido todos os termos pelo de maior grau (x²):

$\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{2} } }{ \frac{3x {}^{2} }{x {}^{2} } - \frac{x}{x {}^{2} } } \: \to \: \lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{1 + \frac{1}{x {}^{2} } }{3 - \frac{1}{x} }$

Como sabemos, a divisão de um número finito por outro inifnito, acarreta em "0", então:

$\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{1 + 0 }{3 - 0 } \: \to \:\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{1}{3} \: \to \: \frac{1}{3}$

• Assíntota Vertical:

Para analisar a assincrona vertical, devemos ver qual o termo que fazer com que o denominador seja igual a "0". Então:

$3x {}^{2} - x = 0 \: \to \: x_1 = 0 \: \: e \: \: x_2 = \frac{1}{3}$

Portanto, temos que:

• Assíntota Horizontal → Y = 1/3;
• Assíntota Vertical → X = 0 e X = 1/3.

Vamos fazer esses mesmos passos na segunda função, dada por:

$g(x) = \frac{x + 3}{ \sqrt{x {}^{2} - 2 } }$

• Assíntota Horizontal:

Vou escolher da mesma forma o x tendendo para +infinito:

$\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{ x + 3 }{ \sqrt{x {}^{2 } - 2 }}$

Dividindo todos pelo termo de maior grau (x):

$\lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{ \frac{x}{x} + \frac{3}{x} }{ \frac{ \sqrt{x {}^{2 } - 2 }}{x}} \: \to \: \lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{1 + 0}{ \sqrt{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } - \frac{2}{x {}^{2} } } } \\ \\ \lim_{x\to + \infty ^{}} \frac{1}{ \sqrt{1 - 0} } \to \: \lim_{x\to + \infty ^{}}1 \to \: \boxed{1}$

• Assíntota Vertical:

Analisando a expressão do denominador:

$\sqrt{x {}^{2} - 2} = 0 \: \to \: x {}^{2} - 2 = 0 \\ x {}^{2} = 2 \: \to \: \: \boxed{x = \pm \sqrt{2} }$

Portanto, temos que:

• Assíntotas Horizontais: Y= -1 e Y= 1;
• Assíntotas Verticais: X= 2 e X = -2.

Espero ter ajudado