Question

Determine todas as assintotas da função
F(x)= (x^2+1)/(3x^2-x)

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle f(x) = \dfrac{(x^2 + 1)}{(3x^{2} -x)}$

ASSÍNTOTAS

Assíntota Vertical

Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical se pelos um dos seguintes casos ocorrer:

$\sf \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\; \infty$       ou       $\sf \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\; \infty$

$\sf \displaystyle f(x) = \dfrac{(x^2 + 1)}{(3x^{2} -x)}$

$\sf \displaystyle 3x^{2} -x = 0$

$\sf \displaystyle x \cdot (3x -1) =0$

$\sf \displaystyle x' = 0$

$\sf \displaystyle x'' = \dfrac{1}{3}$

Aplicando o limites, temos:

$\sf \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sf \overbrace{ x^2 + 1}^{+1}}{\underbrace{ \sf3x^{2} -x}_{0+} } = + \infty$

Assíntota Horizontal

Dizemos que a reta y = a é uma assíntota horizontal se pelos um dos seguintes casos ocorrer:

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = a$     ou   $\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^-} f(x) = a$

Aplicando o limites, temos:

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \lim_{x \to \infty^+} \dfrac{x^2+1}{3x^{2} -x}$

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \lim_{x \to \infty^+} \dfrac{\diagup\!\!\!{ x^2} \cdot \left ( 1 + \dfrac{1 }{x^{2} } \right)}{ \diagup\!\!\!{ x^{2}} \cdot \left( 3 - \dfrac{1}{x} \right) }$

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \dfrac{ \lim_{x \to \infty^+} 1 + \lim_{x \to \infty^+} \dfrac{1 }{x^{2} } }{ \lim_{x \to \infty^+} 3 - \lim_{x \to \infty^+} \dfrac{1}{x} }$

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \dfrac{1 + 0 }{ 3 -0 }$

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \dfrac{1 }{ 3 }$

Explicação passo-a-passo: