Question

Determine $\mathtt{\dfrac{dy}{dx}}$ por diferenciação implícita. $\mathtt{y\cdot arctg(x)-x\cdot arctg(y)=\dfrac{\pi}{2}}$

Answer 1

Segue a minha resolução abaixo. Por ser uma conta bem grande, eu fiz mais diretamente, mas se tiver alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~

Answer 2

Diferenciação implícita

Utiliza-se essa técnica quando não conseguimos deixar uma variável em função de outra para descobrir a derivada. consiste em derivar os dois lados da igualdade em relação a variável de referência e separar o diferencial.

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$\mathsf{y\cdot arctg(x)-x\cdot arctg(y)=\dfrac{\pi}{2}}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}\cdot arctg(x)+\dfrac{y}{1+x^2}-\left(arctg(y)+\dfrac{x}{1+y^2}\dfrac{dy}{dx}\right)=0}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}\cdot arctg(x)-arctg(y)-\dfrac{x}{1+y^2}\dfrac{dy}{dx}=0}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}\left(arctg(x)-\dfrac{x} {1+y^2}\right)=arctg(y)-\dfrac{y}{1+x^2}}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{arctg(x)+y^2arctg(x)-x}{1+y^2}\right)=\dfrac{arctg(y)+x^2arctg(y)-y}{1+x^2}}\\\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(1+y^2)(arctg(y)+x^2arctg(y) -y)}{(1+x^2)(arctg(x)+y^2arctg(x)-x)}}}}}}$

$\dotfill$

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