Determine T(x, y, z) sabendo que T : R^3 → R^3 ́e um operador linear com auto-espaços,
associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = 3, dados por V (1) = {(x, x + y, y); x, y ∈ R} e
V (3) = {(0, x, 2x); x ∈ R}, respectivamente. T ́e diagonalizavel? Justifique sua resposta.
Soluções para a tarefa
O operador linear é diagonalizável, pois possui base de auto-vetores.
O que é um operador diagonalizável?
Um operador linear é chamado de diagonalizável quando existe uma matriz desse operador que é diagonal. Um dos casos que permite afirmar que um operador linear é diagonalizável é quando existe uma base formada por auto-vetores.
O auto-espaço V(1) possui dimensão igual a 2, pois, os vetores desse auto-espaço são da forma:
(x, x + y , y ) = (x, x ,0) + (0, y, y) = x (1, 1, 0) + y ( 0, 1, 1)
E os vetores (1, 1, 0) e ( 0, 1 , 1) são linearmente independentes, portanto, formam uma base de V(1).
O auto-espaço V(3) possui dimensão igual a 1, pois:
(0, x, 2x) = x ( 0, 1, 2)
Como a dimensão de é igual a 3 e a soma das dimensões dos auto-espaços é 3, temos que, existe uma base de auto-vetores desse operador linear, logo, ele é diagonalizável.
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