Question

Determine se o conjunto U = {(x1, x2, x3) | x1 = 2x2} é um subespaço vetorial de R^3.

Answer 1

Olá!

O conjunto U é o conjunto de todos os vetores de R³ tais que a primeira coordenada é igual ao dobro da segunda.

Se U for um subespaço vetorial de R³, ele deve ser fechado na soma vetorial e na multiplicação de vetor por escalar, ou seja, os vetores resultantes de qualquer soma e multiplicação por escalar devem pertencer ao próprio subespaço U.

Tomemos os seguintes vetores arbitrários de U:

a = (α1, α2, α3)

b = (β1, β2, β3)

Já que esses vetores pertencem a U, então:

α1 = 2.α2

β1 = 2.β2

A recíproca é verdadeira.

Façamos a soma vetorial entre os vetores arbitrários e verifiquemos se o vetor resultante pertence a U, isto é, se o vetor resultante tem sua primeira coordenada igual ao dobro da segunda.

a + b = (α1, α2, α3) + (β1, β2, β3)

a + b = (α1+β1, α2+β2, α3+β3)

A primeira coordenada é α1+β1 e a segunda coordenada é α2+β2.

Sendo α1=2.α2 e β1=2.β2, temos que

α1+β1 = 2.α2 + 2.β2 = 2.(α2+β2)

Isso mostra que a primeira coordenada do vetor resultante é igual ao dobro de sua segunda coordenada, visto que

α1+β1 = 2.(α2+β2)

Logo, o vetor resultante

u + v = (α1+β1, α2+β2, α3+β3)

tem sua primeira coordenada igual ao dobro da sua segunda coordenada.

Assim sendo, a soma vetorial entre vetores arbitrários pertencentes a U gera vetores pertencentes a U, e, portanto, U é fechado na soma vetorial.

Façamos a multiplicação de vetor arbitrário por escalar arbitrário e verifiquemos se o vetor resultante pertence a U, isto é, se o vetor resultante tem sua primeira coordenada igual ao dobro da segunda.

k.a = k.(α1, α2, α3), sendo k um escalar arbitrário

k.a = (k.α1, k.α2, k.α3)

A primeira coordenada é k.α1 e a segunda coordenada é k.α2.

Lembrando que α1 = 2.α2 (já que o vetor 'a' pertence a U), temos que:

k.α1 = k.2.α2 = 2.(k.α2)

Isso mostra que a primeira coordenada do vetor resultante é igual ao dobro de sua segunda coordenada, visto que

k.α1 = k.α2

Logo, o vetor resultante

k.a = (k.α1, k.α2, k.α3)

tem sua primeira coordenada igual ao dobro da sua segunda coordenada.

Assim sendo, a multiplicação de vetor arbitrário pertencente a U por escalar arbitrário gera vetores pertencentes a U, e, portanto, U é fechado na multiplicação de vetor por escalar.

Com essas duas condições satisfeitas (fechado na soma vetorial e na multiplicação de vetor por escalar), concluisse que U é um subespaço vetorial do R³.

Qualquer dúvida, comente. Bons estudos!