Question

Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

8. O conjunto de todos os termos de números reais com a operação padrão de adição, mas com multiplicação por escalar definida por $a(x ,y ,z)=(a^{2} \ x, \ a^{2} \ y, \ a^{2} \ z)$

Answer 1

Não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(a+b\right)v \neq av + bv\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(a+b\right)v = \left(\left(a+b\right)^2x,\left(a+b\right)^2y, \left(a+b\right)^2z\right)\\ \\av + bv = \left(\left(a^2+b^2\right)x, \left(a^2+b^2\right)y, \left(a^2+b^2\right)z\right)\\ \\\end{gathered}$

Como todas as operações de soma são as usuais, não irei me preocupar em provar coisas como associatividade, comutatividade etc. Irei focar apenas nos axiomas que envolvem multiplicação por escalar, serão elas então

$\Large\displaystyle\begin{cases}a\left(b v\right) = \left(ab\right)v &\text{(I)}\\ 1v = v &\text{(II)}\\a\left(u + v\right) = au + av &\text{(III)}\\\left(a + b\right)v= av + bv &\text{(IV)}\\\end{cases}$

Vamos verificar o primeiro axioma listado acima

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(bv) = a\left(b^2x, b^2y, b^2z\right) \Rightarrow a(bv) = \left(a^2b^2x, a^2b^2y, a^2b^2z\right)\\ \\(ab)v = ab\left(x, y, z\right) \Rightarrow (ab)v = \left(a^2b^2x, a^2b^2y, a^2b^2z\right)\\ \\\end{gathered}$

Portanto, de fato

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(bv) = (ab)v\end{gathered}$

Primeiro axioma foi validado, agora o segundo

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}1v = v \\ \\1v =\left(1^2 x, 1^2y, 1^2z\right) \Rightarrow \left(x, y, z\right) \end{gathered}$

Novamente, a definição atende ao axioma, agora temos a distributiva

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}a\left(u+v\right) = au + av \\ \\a\left(u+v\right) = a\left(x_u + x_v, y_u + y_v, z_u + z_v\right) \\ \\a\left(u+v\right) = \left(a^2x_u + a^2x_v, a^2y_u + a^2y_v, a^2z_u + a^2z_v\right) \\ \\au + av = \left(a^2x_u, a^2y_u, a^2z_u\right) + \left(a^2x_v, a^2y_v, a^2z_v\right) \\ \\au + av = \left(a^2x_u + a^2x_v, a^2y_u + a^2y_v, a^2z_u + a^2z_v\right) \\ \\a\left(u+v\right) = au + av\end{gathered}$

Definição atende ao axioma.

Agora o último axioma

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(a+b\right)v = av + bv\\ \\\left(a+b\right)v = \left(\left(a+b\right)^2x,\left(a+b\right)^2y, \left(a+b\right)^2z\right)\\ \\av + bv = \left(a^2x, a^2y, a^2z\right) + \left(b^2x, b^2y, b^2z\right)\\ \\av + bv = \left(\left(a^2+b^2\right)x, \left(a^2+b^2\right)y, \left(a^2+b^2\right)z\right)\\ \\\end{gathered}$

Ou seja

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(a+b\right)v \neq av + bv\\ \\a^2 + b^2 \neq \left(a+b\right)^2\end{gathered}$

Note que no caso que fazemos (a+b)v temos o produto notável, e no caso av + bv temos a soma dos quadrados, portanto não atende ao axioma, logo não é um espaço vetorial.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/24670108

brainly.com.br/tarefa/11340066