Question

Determine, se existir, esses limites.

obs: sem ser pela regra de L' hospital​

Answer 1

A ideia vai ser trabalhar com o limite fundamental seguinte :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} = 1$

Vamos tentar manipulas as expressões até chegar nesse limite fundamental

b)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1-cos^2(x) }{x} )$

pela relação fundamental da trigonometria sabemos que :

$sen^2(x) = 1 - cos^2(x)$

substituindo :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1-cos^2(x) }{x} ) \to \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen^2(x)}{x}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{sen^2(x) }{x} ) \to \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x).sen(x) }{x}$

pelas propriedades, sabemos que podemos separar o produto de duas funções em um produto de dois limites. Vamos fazer isso :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x).sen(x) }{x} \to \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}.\lim_{x \to 0} (sen(x))$

apareceu o limite fundamental ali, então é só substituir

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}.\lim_{x \to 0} (sen(x)) = 1. sen(0) = 0$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1-cos^2(x) }{x} ) = 0 }$

c )

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} ( \frac{1-tg(x)}{tg(x)} )$

vamos substituir a tg(x) por  $\displaystyle \frac{sen(x)}{cos(x)}$ e simplificar ao máximo :

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} ( \frac{1-tg(x)}{tg(x)} ) \to \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{\frac{sen(x)}{cos(x)}}$

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)}$

substituindo :

$\displaystyle \frac{cos(\frac{\pi}{2})-sen(\frac{\pi}{2})}{sen(\frac{\pi}{2})} = \frac{0-1}{1} = -1$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} ( \frac{1-tg(x)}{tg(x)} ) = -1 }$

d)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen^2(2x)}{x}$

Sabendo que sen(2x) = 2.sen(x).cos(x), podemos elevar ao quadrado para achar o sen²(2x)  

$[sen(2x)]^2 = [2.sen(x).cos(x)]^2$

$sen^2(2x) = 4.sen^2(x).cos^2(x)$

substituindo no limite :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen^2(2x)}{x} \to \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4.sen^2(x).cos^2(x)}{x}$

vamos separar o produto dois limites :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4.sen^2(x).cos^2(x)}{x} \to \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4.sen^2(x)}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0} cos^2(x)$

apareceu o limite fundamental ali no 1º

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4.sen(x).sen(x)}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0} cos^2(x) \to \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}.\lim_{x \to 0} (4.sen(x)).\lim_{x \to 0} cos^2(x)$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (4.sen(x)).\lim_{x \to 0} cos^2(x)$

substituindo x = 0

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (4.sen(0)).\lim_{x \to 0} cos^2(0) = 0.1 = 0$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen^2(2x)}{x} = 0 }$