Question

determine se existir a matriz 2 3 4 5 ? ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A^{-1}=\begin{bmatrix}-\dfrac{5}{2}&\dfrac{3}{2}\\\\ 2&-1\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos determinarmos, caso exista, a matriz inversa de $A$, sendo $A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\\\end{bmatrix}$.

Para sabermos se esta matriz admite inversa, seu determinante deve ser não nulo, logo passe esta matriz para a forma de determinante:

$\det A=\begin{vmatrix}2&3\\4&5\\\end{vmatrix}$

Para calcular este determinante, utilize a Regra de Sarrus para matrizes de ordem 2. Consiste em encontrar a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária, isto é:

$\det A=2\cdot 5-3\cdot 4$

Multiplique os valores

$\det A=10-12$

Some os valores

$\det A=-2$

Dessa forma, como o determinante é diferente de zero, diz-se que esta matriz admite inversa.

Para encontrá-la, utilizamos matriz adjunta. Consiste na matriz transposta da matriz dos cofatores de A, tal que:

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot \bold{adj}(A)$

Os cofatores das linhas $i$ e colunas $j$ podem ser calculados a partir da fórmula:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após retirarmos a linha $i$ e a coluna $j$ escolhidas.

Veja o exemplo: calculando o cofator $C_{11}$, eliminamos a primeira linha e coluna. Assim, nos sobra somente um elemento, logo

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}5\end{vmatrix}$

O determinante de uma matriz unitária (que apresenta somente um elemento) é o seu próprio elemento

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5$

Some os valores no expoente

$C_{11}=(-1)^{2}\cdot5$

Sabemos que a potência de expoente positivo de uma base negativa se torna positiva, logo

$C_{11}=5$

Faça o mesmo para os outros cofatores:

$C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}4\end{vmatrix}\\\\\\ C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}3\end{vmatrix}\\\\\\ C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}2\end{vmatrix}$

Some os valores nos expoentes e calcule os determinantes

$C_{12}=(-1)^{3}\cdot4\\\\\\ C_{21}=(-1)^{3}\cdot 3\\\\\\ C_{22}=(-1)^{4}\cdot 2$

Aplicando as propriedades de potências, temos

$C_{12}=-4\\\\\\ C_{21}=-4\\\\\\ C_{22}=2$

A matriz adjunta terá a seguinte forma: $\bold{adj(A)}=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}\\C_{12}&C_{22}\\\end{bmatrix}$

Substituindo os valores que encontramos, temos

$\bold{adj(A)}=\begin{bmatrix}5&-3\\-4&2\\\end{bmatrix}$

Substituindo esta matriz na expressão anterior, temos

$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\cdot \begin{bmatrix}5&-3\\-4&2\\\end{bmatrix}$

O produto de uma constante por uma matriz é igual ao produto de todos os seus elementos pela constante, logo

$A^{-1}=\begin{bmatrix}-\dfrac{5}{2}&\dfrac{3}{2}\\\\ 2&-1\\\end{bmatrix}$

Esta é a matriz inversa que procurávamos.