Question

Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:
Explicação, pf

Answer 1

Olá


$\displaystyle A= \left[\begin{array}{ccc}4&6&0\\5&-3&1\\7&0&2\end{array}\right]$

Primeiramente, uma matriz só possui inversa, se o seu determinante for diferente de 0... Então, primeiramente vamos calcular seu determinante.

$\displaystyle A= \left|\begin{array}{ccc}4&6&0\\5&-3&1\\7&0&2\end{array}\right|\\\\\\\mathsf{det~A=\underbrace{(\mathsf{-24+42+0})}_{diag.~principal}-\underbrace{(\mathsf{60+0+0})}_{diag.~secund\'aria}}\\\\\\\boxed{\mathsf{det~ A=-42}}$

Determinante diferente de zero, portanto essa matriz possui inversa.


Há uma fórmula para calcular matrizes, dada por

$\displaystyle\mathsf{A^{-1}= \frac{1}{det ~ A} \cdot (cof (A))^T}$


Traduzindo essa fórmula, ela diz o seguinte.
A matriz inversa de 'A': é 1 sobre o determinante de 'A' vezes a transposta da matriz dos cofatores de 'A'.

Ja temos o determinante de A.

Então vamos para o proximo passo, que é encontrar a matriz dos cofatores de 'A'.

Temos de eliminar a linha e coluna do elemento que queremos encontrar... Por exemplo

C11 ... Quer dizer que, temos que eliminar a linha e a coluna da matriz 'A', com isso, ficará uma matriz 2x2, então pegue o numero (-1) e eleve a soma dos elementos do indice da matriz, e seguida multiplica pelo determinante e com isso o resultado será o nosso primeiro elemento da matriz dos cofatores.
Em C12, elimina e 1ª linha e a 2º coluna, e assim sucessivamente até chegar em C33

$\displaystyle A= \left[\begin{array}{ccc}4&6&0\\5&-3&1\\7&0&2\end{array}\right]\\\\\\\text{Encontrando a matriz dos cofatores}\\\\\mathsf{C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3&1\\0&2\\\end{array}\right|~=~(-1)^2\cdot (-6-0) ~=~\boxed{-6}}\\\\\\\mathsf{C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}5&1\\7&2\\\end{array}\right|~=~(-1)^3\cdot (10-7) ~=~\boxed{-3}}\\\\\\\mathsf{C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}5&-3\\7&0\\\end{array}\right|~=~(-1)^4\cdot (0+21) ~=~\boxed{21}}$

$\mathsf{C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}6&0\\0&2\\\end{array}\right|~=~(-1)^3\cdot (12+0) ~=~\boxed{-12}}\\\\\\\mathsf{C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&0\\7&2\\\end{array}\right|~=~(-1)^4\cdot (8-0) ~=~\boxed{8}}\\\\\\\mathsf{C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&6\\7&0\\\end{array}\right|~=~(-1)^5\cdot (0-42) ~=~\boxed{42}}\\\\\\\mathsf{C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}6&0\\-3&1\\\end{array}\right|~=~(-1)^4\cdot (6+0) ~=~\boxed{6}}$

$\mathsf{C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&0\\5&1\\\end{array}\right|~=~(-1)^5\cdot (4-0) ~=~\boxed{-4}}\\\\\\\mathsf{C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&6\\5&-3\\\end{array}\right|~=~(-1)^6\cdot (-12-30) ~=~\boxed{-42}}$

Já encontramos todos os elementos da matriz dos cofatores...
Então a matriz dos cofatores ficou assim

$\mathsf{Cof(A)= \left[\begin{array}{ccc}-6&-3&21\\-12&8&42\\6&-4&-42\end{array}\right] }$

Agora temos que encontrar a matriz transposta da matriz dos cofatores, para isso, basta trocar, tudo que for linha, vira coluna, e tudo que for coluna, vira linha.

$\mathsf{(Cof(A))^T= \left[\begin{array}{ccc}-6&-12&6\\-3&8&-4\\21&42&-42\end{array}\right] }$


Já temos todas as informações, Então agora, é só multiplicar por $\frac{1}{det A}$

$\displaystyle \mathsf{A^{-1} =\frac{1}{det~A}\cdot (cof(A))^T }\\\\\\\mathsf{A^{-1}= \frac{1}{-42} ~\cdot~ \left[\begin{array}{ccc}-6&-12&6\\-3&8&-4\\21&42&-42\end{array}\right] }\\\\\\\\\mathsf{A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} \frac{-6}{-42} & \frac{-12}{-42} & \frac{6}{-42} \\\\ \frac{-3}{-42} & \frac{8}{-42} & \frac{-4}{-42} \\\\ \frac{21}{-42} & \frac{42}{-42} & \frac{-42}{-42} \end{array}\right] }\\\\\\\text{Simplifica}$

$\displaystyle \boxed{\boxed{\mathsf{A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} &- \frac{1}{7} \\\\ \frac{1}{14} & -\frac{4}{21} & \frac{2}{21} \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & 1 \end{array}\right] }}}~~~~ ~~~~ ~~\Longleftarrow \text{Essa e a matriz inversa}$


Você pode confirmar que essa é a matriz inversa fazendo a seguinte operação

$A\cdot A^{-1}=I$


Ou seja, se multiplicarmos a matriz inversa de 'A', pela matriz original de 'A', tem que dar a matriz identidade 'I'.

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}4&6&0\\5&-3&1\\7&0&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} &- \frac{1}{7} \\\\ \frac{1}{14} & -\frac{4}{21} & \frac{2}{21} \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Não farei esse operação... Fica como exercício para você.

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