Question

determine se existir a inversa da matriz [4 3 5 4] me ajude ai gente​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-3\\-5&4\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a inversa da matriz  $A=\begin{bmatrix}4&3\\5&4\\\end{bmatrix}$, utilizaremos o conceito de matriz adjunta.

A matriz adjunta é basicamente a matriz transposta composta pelos cofatores de cada linha e coluna.

Antes, devemos testar se essa matriz admite inversa. Para isso, seu determinante deve ser não nulo, logo:

Passe a matriz para a notação de determinante:

$\det A=\begin{vmatrix}4&3\\5&4\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, basta encontrar a diferença entre o produto dos elementos das diagonais principal e secundária:

$\det A=4\cdot 4-3\cdot 5$

Multiplique os valores

$\det A=16-15$

Some os valores

$\det A=1$

Logo, essa matriz admite inversa.

Para encontrarmos a matriz adjunta, devemos calcular cada um dos cofatores, utilizando a fórmula:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam ao retirarmos a linha $i$ e coluna $j$ escolhidas.

• O cofator $C_{11}$ será:

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}4\end{vmatrix}$

O determinante de uma matriz unitária é seu próprio elemento, logo

$C_{11}=(-1)^{2}\cdot 4$

Calcule a potência e multiplique os valores

$C_{11}=4$

• Faça o mesmo para o cofator $C_{12}$:

$C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}5\end{vmatrix}\\\\\\ C_{12}=(-1)^{3}\cdot 5\\\\\\ C_{12}=-5$

• Faça o mesmo para o cofator $C_{21}$

$C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}3\end{vmatrix}\\\\\\ C_{21}=(-1)^{3}\cdot3\\\\\\ C_{21}=-3$

• Faça o mesmo para o cofator $C_{22}$

$C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}\\\\\\ C_{22}=(-1)^{4}\cdot4\\\\\\\ C_{22}=4$

A matriz adjunta será formada pelos cofatores da seguinte maneira: $\mathbf{adj}(A)=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}\\C_{12}&C_{22}\\\end{bmatrix}$.

Substituindo os valores que encontramos, temos:

$\mathbf{adj}(A)=\begin{bmatrix}4&-3\\-5&4\\\end{bmatrix}$

Por fim, a matriz inversa é calculada pela fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot \mathbf{adj}(A)\\\\\\\ A^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot\begin{bmatrix}4&-3\\-5&4\\\end{bmatrix}$

Simplifique a fração

$A^{-1}=1\cdot\begin{bmatrix}4&-3\\-5&4\\\end{bmatrix}$

O produto de uma constante por uma matriz é igual ao produto dessa constante por todos os seus elementos, logo

$A^{-1}=\begin{bmatrix}4&-3\\-5&4\\\end{bmatrix}~~\checkmark$

Esta é a matriz inversa de $A$.