Question

Determine se existir, a inversa da matriz (2 4) (1 5). Quem puder me ajudar agradeço desde já.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja a matriz $M=\left[\begin{array}{cc}2&4\\1&5\\\end{array}\right]$, e seja $M^{-1} =\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ a sua inversa. Então, temos que

$M.M^{-1}=I=>\left[\begin{array}{cc}2&4\\1&5\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]=>\left[\begin{array}{cc}2a+4c&2b+4d\\a+5c&b+5d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Assim, temos:

2a + 4c = 1 (I)

a + 5c = 0 (II)

2b + 4d = 0 (III)

b + 5d = 1 (IV)

Equações (I) e (II)

2a + 4c = 1 (I)

a + 5c = 0 (II)

De (II), vem que a = -5c (i)

Substituindo (i) e m (I), segue que

2(-5c) + 4c = 1

-10c + 4c = 1

-6c = 1

c = -1/6 (ii), que substituído em (i), vem

a = -5.(-1/6)

a = 5/6 (iii)

Equações (III) e (IV)

2b + 4d = 0 (III)

b + 5d = 1 (IV)

De (III) segue que

2b = -4d

b = -4d/2

b = -2d (i)

Substituindo (i) em (IV), vem

-2d + 5d = 1

3d = 1

d = 1/3 (ii)

Substituindo (ii) em (i), segue que

b = -2.1/3

b = -2/3 (iii)

Portanto, temos que

$M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{6}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\end{array}\right]$