Question

determine se cada lista de vetores R³ é ou não linearmente independentes a) (1,1,2), (2,3,1),(4,5,5)

Answer 1

✅ Dada a tripla de vetores no espaço, podemos determinar constantes na forma $\rm (\mathbb{C}_1, \mathbb{C}_2, \mathbb{C}_3) = (-2\mathbb{C}_3, -\mathbb{C}_3, \mathbb{C}_3) ,~~\forall~\mathbb{C}_3\in \mathbb{R}$. Por conseguinte os vetores são linearmente dependentes ( $\rm L.D.$ ).

 

☁️ Definição 1: Os vetores $\rm \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots , \vec{v}_n$ são linearmente dependentes se e somente se existirem constantes $\rm \mathbb{C}_1, \mathbb{C}_2, \ldots , \mathbb{C}_n$, nem todas nulas, tal que a combinação linear dessas constantes com os vetores seja igual ao vetor nulo do espaço em questão.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \mathbb{C}_1\vec{v}_1+\mathbb{C}_2\vec{v}_2+\ldots +\mathbb{C}_n\vec{v}_n = \vec{0} \qquad}}}$

 

☁️ Definição 2: Os vetores $\rm \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots , \vec{v}_n$ são linearmente independentes se e somente se existirem constantes $\rm \mathbb{C}_1, \mathbb{C}_2, \ldots , \mathbb{C}_n$, tal que a combinação linear dessas constantes com os vetores seja igual ao vetor nulo do espaço em questão e a solução do sistema seja a solução trivial $\rm \mathbb{C}_1 =\mathbb{C}_2 = \ldots = \mathbb{C}_n = 0$

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \mathbb{C}_1\vec{v}_1+\mathbb{C}_2\vec{v}_2+\ldots +\mathbb{C}_n\vec{v}_n = \vec{0} ~|~\mathbb{C}_1 =\mathbb{C}_2 = \ldots = \mathbb{C}_n = 0 \qquad}}}$

 

⚠️ Note que os três vetores dados são do espaço vetorial $\rm V^3$ e irão formar um sistema de três equações e três incógnitas. Dessa forma, nossa tarefa é descobrir o valor das constantes $\rm \mathbb{C}_1, \mathbb{C}_2, \mathbb{C}_3$

 

✍️ Solução:

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{C}_1 (1,1,2) + \mathbb{C}_2 (2,3,1) + \mathbb{C}_3 (4,5,5) = (0,0,0) \\\\\rm (\mathbb{C}_1, \mathbb{C}_1, 2 \mathbb{C}_1) + ( 2\mathbb{C}_2, 3\mathbb{C}_2, \mathbb{C}_2) + ( 4\mathbb{C}_3, 5\mathbb{C}_3, 5\mathbb{C}_3) = (0,0,0) \\\\\rm (\mathbb{C}_1 + 2\mathbb{C}_2 + 4\mathbb{C}_3), (\mathbb{C}_1 + 3\mathbb{C}_2 + 5\mathbb{C}_3), (2\mathbb{C}_1 + \mathbb{C}_2 + 5\mathbb{C}_3) = (0,0,0) \end{array}$

 

O que resulta no sistema:

$\large\begin{array}{lr}\rm \begin{cases}\rm \mathbb{C}_1 + 2\mathbb{C}_2 + 4\mathbb{C}_3 = 0 \\\rm \mathbb{C}_1 + 3\mathbb{C}_2 + 5\mathbb{C}_3 = 0 \\\rm 2\mathbb{C}_1 + \mathbb{C}_2 + 5\mathbb{C}_3 = 0 \end{cases}\end{array}$

 

Isolar $\rm \mathbb{C}_2$ na 3ª equação é bem tentador:

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{C}_2 = -2\mathbb{C}_1 - 5\mathbb{C}_3 \end{array}$

 

Substituindo $\rm \mathbb{C}_2$ na 2ª equação, teremos:

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{C}_1 + 3(-2\mathbb{C}_1 - 5\mathbb{C}_3) + 5\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow\\\\\rm \mathbb{C}_1 + -6\mathbb{C}_1 - 15\mathbb{C}_3 + 5\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow \\\\\rm -5\mathbb{C}_1 - 10\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow \\\\\rm \therefore\:\mathbb{C}_1 = -2\mathbb{C}_3 \end{array}$

 

Aplicando $\rm \mathbb{C}_1$ em $\rm -2\mathbb{C}_1 - 5\mathbb{C}_3$

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{C}_2 = -2(-2\mathbb{C}_3) - 5\mathbb{C}_3 \Rightarrow \\\\\rm\therefore\: \mathbb{C}_2 = -\mathbb{C}_3 \end{array}$

 

Jogando $\rm \mathbb{C}_1$ e $\rm \mathbb{C}_2$ na primeira equação, obtemos:

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{C}_1 + 2\mathbb{C}_2 + 4\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow \\\\\rm -2\mathbb{C}_3 + 2(-\mathbb{C}_3) + 4\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow\\\\\rm -4\mathbb{C}_3 + 4\mathbb{C}_3 = 0 \Rightarrow \\\\\rm 0 = 0 \end{array}$

 

❏ Portanto, as constantes serão:

$\large\begin{array}{lr} \red{\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: (\mathbb{C}_1, \mathbb{C}_2, \mathbb{C}_3) = (-2\mathbb{C}_3, -\mathbb{C}_3, \mathbb{C}_3) ,~~\forall~\mathbb{C}_3\in \mathbb{R} }}}} \end{array}$

 

✔ Isso prova que os vetores $\rm (1,1,2), (2,3,1), (4,5,5)$ são linearmente dependentes, pois adimite quaisquer constantes, tais que, $\rm (\mathbb{C}_1,  \mathbb{C}_2, \mathbb{C}_3) = (-2\mathbb{C}_3, -\mathbb{C}_3, \mathbb{C}_3)$, ou seja, não somente a solução trivial.