Question

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
∑_(n=1)^(+ ∞)▒1/(n+2)

Answer 1

Olá.

Sabemos que uma série tem comportamento de convergência similar ao da integral do que observamos. Assim:

$\mathsf{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n+2}\thicksim \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x+2}dx }$

Vamos analisar a integral:

$\mathsf{\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x+2}dx = \lim_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\dfrac{1}{x+2}dx=\lim_{t\to+\infty}\left\Big( \ell n|x+2|\right\Big)_1^t = } \\ \\ \\ \mathsf{= \displaystyle\lim_{t\to+\infty} \ell n t - \ell n 3 \to +\infty}$

Portanto, como a integral diverge, o somatório também diverge.


$\mathsf{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n+2} }~~ \texttt{Diverge}$