Question

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
∑_(n=1)^(+ ∞)1/(n+2)
∑_(n=3)^(+∞)3/(n-1)
∑_(n=1)^(+∞)2/3n

Answer 1

Olá

Resolverei essa questão através da integral imprópria.

A primeira integral é $\int\limits^{inf}_{1} { \frac{1}{n+2} } \, dn$.

Daí, temos que $\lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 { \frac{1}{n+2} } \, dn = \lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 { \frac{1}{u} } \, du = \lim_{b \to \infty} (ln(b+2)-ln(3)) = \infty$

Portanto, a primeira série é divergente.

Observação: Foi usado o método de substituição u = n+2 e du = dn

A segunda integral imprópria é dada da forma $\int\limits^{inf}_{3} { \frac{3}{n-1} } \, dn = 3 \int\limits^{inf}_{3} { \frac{1}{n-1} } \, dn$

Daí, temos que:

$3 \lim_{b \to \infty} \int\limits^{b}_{3} { \frac{1}{n-1} } \, dx = 3 \lim_{b \to \infty} \int\limits^b_3 { \frac{du}{u} } \, = 3 \lim_{b \to \infty} (ln(b-1)-ln(2)) =\infty$ [/tex]

Lembrando que foi utilizado o método de substituição u = n-1 e du = dn

Logo, a segunda série também é divergente.

A terceira integral é da forma $\int\limits^{inf}_1 { \frac{2}{3n} } \, dn = \frac{2}{3} \int\limits^{inf}_1 { \frac{1}{n} } \, dn$

Daí temos que:

$\frac{2}{3} \lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 { \frac{1}{n} } \, dn = \frac{2}{3} \lim_{b \to \infty} (ln(b) - ln(1)) = \infty$

Portanto, essa série também é divergente.