Question

Determine se a série converge ou diverge ∑1/√n−1

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}-1 }$

sabemos que:

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k }$  diverge

então

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k-1} }$ tambem diverge pois fazendo uma mudança de varialvel:

$\lim_{n \to \infty} \sum_{u=2}^{n}\frac{1}{{u} }$

como das somas parciais:

$\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}-1 }>\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1 }$

entao

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}-1 }>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1 }$

mas se algo é maior que uma soma divergente então a soma diverge