Question

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o seu limite.
${a_{n} = e^{\frac{2n}{(n+2)}}$

Answer 1

➜ A sequencia é convergente e converge para $e^2$

☞ A sequência $a_n$ converge  $\Leftrightarrow \boxed{\displaystyle{\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n} =L},L \in \mathbb{R}}$

☞ Temos $a_n=e^{\frac{2n}{n+2}}$. então:

$\large \begin{array}{l}\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n} =\lim _{n\rightarrow \infty } e^{\left(\frac{2n}{n+2}\right)} =\\\\\\=e^{\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{2n}{n+2}\right)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \lim _{x\rightarrow a} b^{f( x)} =b^{\lim\limits _{x\rightarrow a} f( x)}\right]\end{array}$

$\\\\\large \begin{array}{l}=e^{\lim\limits _{n\rightarrow \infty }\left(\frac{D\{2n\}}{D\{n+2\}}\right)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [ Regra\ de\ L'Hospital]\\\\\\\\=e^{\lim\limits _{n\rightarrow \infty } 2}\\\\\\=e^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \lim _{x\rightarrow a} k=k\right]\end{array}$

∴ A sequencia converge para $e^2$ ✍️

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