Question

Determine se a seguinte igualdade é uma identidade trigonométrica
cossecx(secx-1)+senx=cotgx(1-cos)+tgx

Answer 1

$cossec~x(sec~x-1)+sen~x=cotg~x(1-cos~x)+tg~x$

Manipulando a primeira parte da equação:

$cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1}{sen~x}\left(\dfrac{1}{cos~x}-1\right)+sen~x\\\\\\cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1}{sen~x}\left(\dfrac{1-cos~x}{cos~x}\right)+sen~x\\\\\\cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1-cos~x}{sen~x\cdot cos~x}+sen~x\\\\\\cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1-cos~x+sen~x\cdot sen~x\cdot cos~x}{sen~x\cdot cos~x}\\\\\\cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1-cos~x+sen^{2}x\cdot cos~x}{sen~x\cdot cos~x}$

Colocando cos x em evidência:

$cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1+cos~x(-1+sen^{2}x)}{sen~x\cdot cos~x}$

Relação fundamental da trigonometria:

$sen^{2}x+cos^{2}x=1\\sen^{2}x-1=-cos^{2}x\\-1+sen^{2}x=-cos^{2}x$

Substituindo:

$cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1+cos~x(-cos^{2}x)}{sen~x\cdot cos~x}\\\\\\\boxed{\boxed{cossec~x(sec~x-1)+sen~x=\dfrac{1-cos^{3}x}{sen~x\cdot cos~x}}}$

Agora, a segunda parte:

$cotg~x(1-cos~x)+tg~x=\dfrac{cos~x}{sen~x}(1-cos~x)+\dfrac{sen~x}{cos~x}\\\\\\cotg~x(1-cos~x)+tg~x=\dfrac{cos~x-cos^{2}x}{sen~x}+\dfrac{sen~x}{cos~x}\\\\\\cotg~x(1-cos~x)+tg~x=\dfrac{cos~x(cos~x-cos^{2}x)+sen~x\cdot sen~x}{sen~x\cdot cos~x}\\\\\\cotg~x(1-cos~x)+tg~x=\dfrac{cos^{2}x-cos^{3}x+sen^{2}x}{sen~x\cdot cos~x}\\\\\\\boxed{\boxed{cotg~x(1-cos~x)+tg~x=\dfrac{1-cos^{3}x}{sen~x\cdot cos~x}}}$
_______________

$cossec~x(sec~x-1)+sen~x=cotg~x(1-cos~x)+tg~x\\\\\\\dfrac{1-cos^{3}x}{sen~x\cdot cos~x}=\dfrac{1-cos^{3}x}{sen~x\cdot cos~x}$

Logo, a igualdade é uma identidade trigonométrica

Answer 2

Sejam $\text{sen}~x=a$ e $\text{cos}~b$. 

Deste modo, como $\text{tg}~x=\dfrac{\text{sen}~x}{\tex{cos}~x}$, temos $\text{tg}~x=\dfrac{a}{b}$.

Além disso,

$\text{cossec}~x=\dfrac{1}{\text{sen}~x}=\dfrac{1}{a}$

$\text{sec}~x=\dfrac{1}{\text{cos}~x}=\dfrac{1}{b}$

$\text{cotg}~x=\dfrac{1}{\text{tg}~x}=\dfrac{b}{a}$.

Queremos verificar se a igualdade

$\text{cossec}~x\cdot(\text{sec}~x-1)+\text{sen}~x=\text{cotg}~x\cdot(1-\text{cos}~x)+\text{tg}~x$ é uma identidade trigonométrica.

Temos que:

$\dfrac{1}{a}\cdot\left(\dfrac{1}{b}-1\right)+a=\dfrac{b}{a}\cdot(1-b)+\dfrac{a}{b}$

$\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{a}+a=\dfrac{b}{a}-\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a}{b}$

$\dfrac{1-b+a^2b}{ab}=\dfrac{b^2-b^3+a^2}{ab}$

Deste modo, precisamos verificar se a igualdade $1-b+a^2b=b^2-b^3+a^2$ é verdadeira.

Pela relação fundamental, $\text{sen}^2~x+\text{cos}^2~x=1$. Assim, $a^2+b^2=1$, donde, $a^2=1-b^2$.

Substituindo:

$1-b+(1-b^2)b=b^2-b^3+(1-b^2)$

$1-b+b-b^3=1-b^3$

$1-b^3=1-b^3$

Como isso é verdade, podemos afirmar que, a igualdade 

$\boxed{\text{cossec}~x\cdot(\text{sec}~x-1)+\text{sen}~x=\text{cotg}~x\cdot(1-\text{cos}~x)+\text{tg}~x}$

é uma identidade trigonométrica.