Question

Determine se a função f(x)=3x²-6x+2 tem valor de máximo ou mínimo. Calcule esse valor

Answer 1

Oi Thamiris :)

Podemos fazer através do cálculo diferencial.

Vamos pegar a função e derivar:

f(x)= 3x²-6x+2
f'(x)=6x-6          

Fazendo a função derivada igual a zero e isolando x temos:

6x-6=0
6x=6
x=6/6
x=1         (Esse é o ponto crítico da função)

Para descobrir se é mínimo ou máximos vamos pegar um valor menor e um maior que o ponto crítico , que é 1. 

Nesse caso vamos anlisar em 0  e  2 . 

analisando em 0 :               anlisando em 2:

f'(x)=6x-6                              f'(x)=6x-6 
f'(0)=6.0-6                            f'(2)=6.2-6
f'(0)= -6                                f'(2)=6

Nesse caso:
Quando pegamos um valor a esquerda de 1 o resultado deu negativo ou <0 . 
Quando pegamos um valor a direita de 1 o resultado deu positivo ou >0
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Portanto pelo teste da derivada primeira temos: 
 - se o sinal de f' mudar de positivo para negativo temos um MÁXIMO LOCAL
-  se o sinal de f' mudar de negativo para positivo temos um MÍNIMO LOCAL
- se f' não mudar de sinal então não temos máximo ou mínimo locais
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Como no nosso caso deu a segunda opção. f' muda de negativo para positivo então temos um MÍNIMO LOCAL
Para saber qual o valor mínimo da função basta substituir o ponto crítico na função:
 f(x)= 3x²-6x+2  
 f(1)= 3.1²-6.1+2
f(1)=3-6+2
f(1)=-1

Portanto -1 é um valor de Mínimo Local

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Pelo Ensino Médio podemos fazer da seguinte forma:

Usando o Y do vértice:

Sendo a= 3 , b=-6  , c=2

$Yv= \frac{-\Delta}{4a} \\ \\ Yv= \frac{-(b^2-4.a.c)}{4a} \\ \\ Yv= \frac{-((-6)^2-4.3.2)}{4.3} \\ \\ Yv= \frac{-(36-24)}{12} \\ \\ Yv= \frac{-12}{12} =-1$

Como o coeficiente a é positivo temos uma parábola voltada para cima. Logo seu vértice será um valor de Mínimo que encontramos através do Yv, que é -1



Não sei qual dos dois métodos vc está estudando agora por isso coloquei os dois.
Espero que goste. Comenta aí depois :)