Question

Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau:
㏑ x²- 2 ㏑ y
fazer por f(tx,ty)
Resposta: homogênea de grau 0

Answer 1

Seja $f$ a função dada por $f(x,y) = \ln x^2 - 2 \ln y$ e $t$ uma constante real tal que $(tx,ty)$ pertença ao domínio de $f$. Diz-se que $f$ é uma função homogénea de grau $k$ se:

$f(tx,ty) = t^kf(x,y),$

para algum inteiro $k$.

Aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos reescrever a função na forma:

$f(x,y) = \ln x^2 - 2\ln y = 2\ln x - 2\ln y = 2\ln\left(\dfrac{x}{y}\right).$

Calculamos agora $f(tx,ty)$:

$f(tx,ty) = 2\ln\left(\dfrac{tx}{ty}\right) = 2\ln\left(\dfrac{tx}{ty}\right) = f(x,y) = t^0f(x,y).$

Concluímos assim que $f$ é uma função homogénea de grau 0.