Question

Determine se a a firmação a seguir é verdadeira ou falsa:

Quaisquer dois planos em R^3 se intersectam.

Depois, se a afirmação acima for verdadeira, escreva uma demonstração, e se for falsa, exiba um contraexemplo.

Answer 1

Falso. Dois planos paralelos são exemplos de planos que não se interceptam.

A equação de um plano se escreve como

$(a,b,c)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0) = a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)\\a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) = ax+by+cz+d$

onde $d$ determina a posição do plano e a tripla ordenada $(a,b,c)$ é o vetor normal e também é a orientação do plano.

Como contra exemplo da afirmação, podemos escrever dois planos que tenham $(a,b,c)$ iguais, porém valores de $d$ diferentes.

Contraexemplos:

$Plano_1: x+y+z+1=0$

$Plano_2: x+y+z+2=0$

Os dois planos são paralelos (basta obter suas retas normais e verificar se tais ertas são paralelas) entretanto eles não se interceptam em ponto algum.