Question

determine quatro números em progressão aritmética crescente sabendo que sua soma é 6 é a soma de seus quadrados é 54

Answer 1

Seja "x" o primeiro número e "r" a razão.
x+(x+r)+(x+2r)+(x+3r)=6
x+(x+r)²+(+2r)²+(x+3r)²=54

ou

4x+6r=6
4x²+12rx+14r²=54

2x+3r=3
2x²+6rx+7r²=27

2x+3r=3...................(1)
x(2x+3r)+7r²=27......(2)

Levando o valor de (1) em (2)
3x+7r²=27......(3)
2x+3r=3...........(1)

6x+14r²=54....multipliquei por 2
-6x-9r=  -9.........multipliquei por (-3)

somando as equações, temos:
14r²-9r=45
Por Bhaskara:
r'=3
r''=-3

2x+3r=3
2x+3*3=3
2x+9=3
2x=3-9
2x=-6
x=-6/2
x=-3

logo o primeiro nº é: para r=3
x=-3
x+r=-3+3=0
x+2r=-3+2*3=-3+6=3
x+3r=-3+3*3=-3+9=6

Para r=-3
x=-3
x+r=-3-3=-6
x+2r=-3+2(-3)=-3-6=-9
x+3r=-3+3(-3)=-3-9=-12

-3 ; -6 ; -9 -12

-3 ; 0 ;  3 ; 6.......(esta é a solução solicitada)