Question

determine quantos termos da PA (140, 134, 128...) devemos considerar para que a soma dos primeiros números seja:

a) igual a 1634
b) igual a -350
c) um numero negativo​

Answer 1

✅ Para que a soma de n termos seja 1634 precisamos de n = 19. Da mesma forma, para a soma de n termos resultar em -350, é necessário que n = 50. Por fim, para que a soma seja negativa a partir de um termo de índice n, precisamos de n = 48.

 

☁️ Soma finita de uma progressão aritmética: É uma expressão conjecturada por Gauss, tomando a ideia de que os termos $\rm a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots = \mathbb{C}$, onde $\mathbb{C}$ é uma constante real. Dessa forma, fazemos $\rm n$ somas iguais as anteriores e como pegamos valores em pares a soma dos termos será o dobro, logo dividimos o resultado por 2, o que nos dá

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad S_n = \dfrac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} \qquad}}}$

 

☁️ Termo geral de uma P.A.: Uma progressão aritmética de primeiro termo igual a $\rm a_1$ e n-ésimo termo igual a $\rm a_n$ é uma sequência que cresce ou decresce linearmente conforme a razão $\rm r = a_i - a_{i-1}$, com $\rm i \in [1,\ldots,n]$ e $\rm i \neq 1$. Juntando as informações, obtemos o termo geral por recursão

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \qquad}}}$

 

✍️ Solução: Para a) e b) temos os valores da soma e para c) devemos resolver uma inequação.

$\large\begin{array}{lr}\rm a)\\\rm 1634 =\rm \dfrac{n\{140 + [140 - 6(n-1)] \} }{2} \\\\\rm 3268 = n(286 - 6n)\\\\\rm 3268 = 286n - 6n^{2} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{286^2-4\cdot (-6)\cdot (-3268)}}{2\cdot (-6)} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{81796-78432}}{-12} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{3364}}{-12} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm58}{-12} \\\\\rm n_1 = \dfrac{-286+58}{-12} = 19 \\\\\rm n_2 = \dfrac{-286-58}{-12}= 28{,}\bar{6} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:n = 19}}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

 

$\large\begin{array}{lr}\rm b)\\\rm -350 =\rm \dfrac{n\{140 + [140 - 6(n-1)] \} }{2} \\\\\rm -700 = 286n - 6n^{2} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{286^2-4\cdot (-6)\cdot 700}}{2\cdot (-6)} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{81796 + 16800}}{-12} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm\sqrt{98596}}{-12} \\\\\rm n = \dfrac{-286\pm314}{-12} \\\\\rm n_1 = \dfrac{-286+314}{-12} = - \dfrac{7}{3} \\\\\rm n_2 = \dfrac{-286-314}{-12}= 50 \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:n = 50}}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

 

⚠️ No item c), desejamos saber quantos termos são necessários para que tenhamos uma soma negativa, logo basta resolvermos a inequação, nesse caso analiticamente. Para isso, vamos lembrar que estamos trabalhando com variáveis discretas, então definamos a função $\rm S_n = \psi(n) = -3n^2 + 143n$, que nada mais é que a soma dos $\rm n$ primeiros termos. Observe que $\rm \psi(n): \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Z}$, ou seja, tem como domínio os naturais ( $\rm \mathbb{D}om(\psi(n)) = \{n\in\mathbb{N}\}$ ) e imagens nos inteiros.

 

Agora, vamos pensar no problema de forma geométrica, tomando como base o plano ℝ², logo, veja que na variável contínua x, os pontos que satisfazem $\psi(x)$ estão sobre uma parábola com concavidade para baixo e raízes $\rm x_1 = 0~e~x_2 = \tfrac{143}{3} \approx 47,67$. Ou seja, a partir de $\rm x_2$, a função que representa a soma passa a possuir valores negativos, que quer dizer que o ramo de parábola está abaixo do eixo x. Então, resolvemos o problema voltando para a variável discreta n e agora sabemos que

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:\{n\in \mathbb{N} \mid \psi(n) < 0 \} = \{n>47\} }}}}\end{array}$

Assim, para n = 48, a soma passará a ser negativa.

 

⚠️ Esse é o mesmo processo de estudo de sinal duma função. Veja a imagem.

 

✔️ Resolvido!

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre sequências finitas, progressões:

• brainly.com.br/tarefa/50212947
• brainly.com.br/tarefa/13107183

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$